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Neste capítulo, apresentamos uma coletânea de exercícios resolvidos relacionados
a várias aplicações. Todo o conteúdo deste capítulo foi gentilmente
cedido pelo professor Augusto César de Castro Barbosa do Departamento de
Análise do IME/UERJ, a quem a autora agradece.
7.1 Aplicações à Biologia
1. Numa colméia, a razão de crescimento da população é uma função da população.
Assim
dp
dt
=f(p).
a) Calcular p(t) para f(p) = βp, onde β é uma constante positiva, e determinar
a população limite do sistema.
dp
dt
= βp )
1
p
dp = βdt )
Z
1
p
dp = β
Z
dt ) ln p = βt + c
p = e t+c ) p(t) = ke t, onde k = ec
p(0) = p0 ) p0 = ke .0 ) k = p0
p(t) = p0e t
No cálculo da população limite (supondo p0 > 0) temos
p(t) = p0e t ) lim
t→∞
p(t) = +1
170
b) Encontrar p(t) paraf(p) = βp−k2p2, onde β e k são constantes positivas.
Calcular novamente a população limite do sistema.
dp
dt
= βp − kp2 )
1
βp − kp2
dp = dt
βp − kp2 = −(kp2 − βp) = −k

p2 −
β
k
p

= −k

p2 −
β
k
p ±
β2
4k2

= −k
"
p −
β
2k
2

β2
4k2
#
Z
1
βp − kp2
dp = −
1
k
Z
1

p −
β
2k
!2

β2
4k2
dp

Sejam u = p −
β
2k
, a =
β
2k

u=a sec ,du=a sec  tg d
= −
1
k
Z
1
u2 − a2
du = −
1
k
Z
a sec θ tg θ
a2(sec2 θ − 1)

= −
1
k
Z
a sec θ tg θ
a2 tg2 θ
dθ = −
1
ak
Z
sec θ
tg θ

= −
1
ak
Z
1
sen θ
dθ = −
1
ak
Z
cossec θdθ
= −
1
ak
ln(cossec θ − cotg θ) + c
a
u
t

sec θ =
u
a ) cos θ =
a
u
u2 = a2 + t2 ) t = pu2 − a2
sen θ =
pu2 − a2
u ) cossec θ =
u
pu2 − a2
tg θ =
sen θcos θ
=
pu2 − a2
a ) cotg θ =
a
pu2 − a2
171

1
k
Z
1
u2 − a2
du = −
1
ak
ln

u − a
pu2 − a2

= −
1
ak
ln
"
u − a p
(u − a)(u + a)
#
= −
1
ak
ln
r
u − a
u + a
Z
1
βp − kp2
dp = −
1
ak
ln
r
u − a
u + a
Temos então que

1
ak
ln
r
u − a
u + a
= t + c1 ) −
1
2ak
ln

u − a
u + a

= t + c1
) ln

u − a
u + a

= −2akt + c2 ondec2 = −2akc1
u − a
u + a
= c3e−2akt ) u(1 − c3e−2akt) = a(1 + c3e−2akt)
u =
1 + c3e−2akt
1 − c3e−2akt
a; u = p −
β
2k
e a =
β
2k
−2akt = −2
β
2k
kt = −βt
p −
β
2k
=
1 + c3e− t
1 − c3e− t
β
2k ) p =
β
2k

1 + c3e− t + 1 − c3e− t
1 − c3e− t

p =
β
2k

2
1 − c3e− t

=
β
k
1
1 − c3e− t
p(0) = p0 =
β
k
1
1 − c3 ) 1 − c3 =
β
kp0 ) c3 =
kp0 − β
kp0p =
β
k
1
1 −
kp0 − β
kp0
e− t
=
β
k
kp0
kp0 + (β − kp0)e− t
=
p0β
kp0(1 − e− t) + βe− t =
p0βe t
kp0(e t − 1) + β
=
p0e t
1 +
kp0
β
(e t − 1)
172
Uma forma mais simples de obter p(t):
dp
dt
= βp − kp2, f(p) = βp − kp2 )
1
βp − kp2
dp = dt
)
Z
1
βp − kp2
dp =
Z
dt
1
βp − kp2 =
A
p
+
B
β − kp ) A =
1
β
e B =
k
β
1
β
Z
1
p
dp +
k
β
Z
1
β− kp
dp =
Z
dt
1
β
ln p +
k
β


1
k

ln(β − kp) = t + c1
1
β
ln

p
β − kp

= t + c1 ) ln

p
β − kp

= βt + c2
p
β − kp
= c3e t ) p = βc3e t − kc3e tp ) p(t) =
βc3e t
1 + kc3e t
p(0) = p0 ) p0 =
βc3
1 + kc3 ) c3 =
p0
β − p0k
p(t) =
βp0e t
β − p0k
1 +
kp0e t
β − p0k
=
βp0e t
β − p0k + kp0e t =
p0e t
1 −
k
β
p0(e t − 1)
No cálculo da populaçãolimite temos
lim
t→∞
p0e t
1 +
kp0
β
(e t − 1)
= lim
t→∞
p0e t
1 +
kp0
β
e t
= lim
t→∞
p0e t
kp0
β
e t
= lim
t→∞
p0β
kp0
=
β
k
2. A população de uma cidade é de 1.000.000 de habitantes. Houve uma epidemia
e 10% da população contraiu umvírus. Emsete dias esta percentagem
cresceu para 20%. O vírus se propaga por contato direto entre indivíduos enfermos
e sãos (logo,é proporcional ao número de contatos). A partir destes
dados e supondo que o modelo seja fechado, isto é, a população se mantém
constante, semnascimentos, mortes oumigração, e os indivíduos tendo toda
a liberdade de interagir, calcule:
173
a) A proporção de indivíduos enfermos e sãos, como uma função do tempo.
x =
ne
n
, y =
ns
n
, x + y = 1, ne + ns = n
onde
n = número total de...
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