Polinômios

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU www.professorwaltertadeu.mat.br Trabalho para a 2ª Certificação – Valor: 1,5 – GABARITO

1) Escreva o complexo z = 1 + i na forma complexa e calcule z8.
Solução. A forma geral é z = a + bi. Logo, a = 1 e b = 1. Calculando o módulo e o argumento, temos:
i) ii) . A forma trigonometria e a potência são:
a)
b)
2) (Fuvest)Sendo i unidade imaginária, resolva a equação:
Solução. Considerando z = a + bi, temos:

3) Qual o polinômio que subtraído de A(x) = 2x³- x²- 4x + 5 dá o polinômio B(x) = x² + 3x -1 ?

Solução. Seja F(x) o polinômio tal que F(x) - A(x) = B(x). Logo, F(x) = A(x) + B(x). Temos:

4) (FEI-SP) A soma de dois polinômios P(x) + Q(x) é um polinômio de grau 6 e o grau do polinômio que representa a diferença P(x) - Q(x) é 4. Quais afirmações a seguir são verdadeiras?
I. A diferença Q(x) e P(x) tem grau 6.
II. P(x) e Q(x) têm o mesmo grau.
III. P(x) tem grau 5.
IV. Q(x) tem grau 4
V. P(x) tem grau 4.
Solução. Analisando cada sentença observa-se que os polinômios precisam ter o mesmo grau e esses não podem ser inferiores a 6, pois não se cancelariam na subtração. Logo, somente a sentença II é a verdadeira.
5) (UFBA) Considere os polinômios na variável a :

P1= 3a³-4a²b+7b³ P2= -6a³ + 15a²b + 5b³ P3= ma³ + na²b + pb³
Sendo P1+P2+P3 = 0, calcule m +n +p.

Solução. Escrevendo a expressão da soma dos polinômios, temos:

Como a variável é “a”, consideramos que o polinômio nulo possui coeficientes de cada potência de “a” como nulos. Assim:

. Logo, m + n + p = 3 – 11 – 12 = - 20.

6) Um polinômio P de grau 2 satisfez as condições P(0)=2, P(-1)=12, P(2)=6. Determine P e suas raízes.

Solução. Um polinômio de grau 2 é da forma P(x) = ax2 + bx + c. Considerando as condições indicadas, temos:

i) Cálculo dos coeficientes a, b e c.

a)

b)

c) Resolvendo