Polinomios

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Ensino Médio: Produtos notáveis (33 Identidades) |

1. Quadrado da soma de dois termos
-------------------------------------------------
(a+b)² = a² + b² + 2ab
Exemplo: (3+4)²=3²+4²+2×3×4
2. Quadrado da diferença de dois termos
-------------------------------------------------
(a-b)² = a² + b² - 2ab
Exemplo: (7-5)²=7²+5²-2×7×5
3. Diferença de potências (ordem 2)-------------------------------------------------
a² - b² = (a+b)(a-b)
Exemplo: 7²-5²=(7+5)(7-5)
4. Cubo da soma de dois termos
-------------------------------------------------
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Exemplo: (4+5)³=4³+3×4²×5+3×4×5²+5³
5. Cubo da soma de dois termos na forma simplificada
-------------------------------------------------
(a+b)³ = a(a-3b)² + b(b-3a)²
Exemplo:(4+5)³=4(4-3×5)²+5(5-3×4)²
6. Cubo da diferença de dois termos
-------------------------------------------------
(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Exemplo: (4-5)³=4³-3×4²×5+3×4×5²-5³
7. Identidade de Fibonacci
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(a²+b²)(p²+q²) = (ap-bq)²+(aq+bp)²
Exemplo: (1²+3²)(5²+7²)=(1×5-3×7)²+(1×7+3×5)²
8. Identidade de Platão-------------------------------------------------
(a²+b²)² = (a²-b²)²+(2ab)²
Exemplo: (3²+8²)²=(3²-8²)²+(2×3×8)²
9. Identidade de Lagrange (4 termos)
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(a²+b²)(p²+q²)-(ap+bq)² = (aq-bp)²
Exemplo: (9²+7²)(5²+3²)-(9×5+7×3)²=(9×3-7×5)²
10. Identidade de Lagrange (6 termos)
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(a²+b²+c²)(p²+q²+r²) - (ap+bq+cr)²
= (aq-bp)² +(ar-cp)² + (br-cq)²
Exemplo: (1²+3²+5²)(7²+8²+9²)-(1×7+3×8+5×9)²
=(1×8-3×7)²+(1×9-5×7)²+(3×9-5×8)²
11. Identidade de Cauchy (n=3)
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(a+b)³ - a³ - b³ = 3ab(a+b)
Exemplo: (2+7)³-2³-7³=3×2×7×(2+7)
12. Identidade de Cauchy (n=5)
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(a+b)5 - a5 - b5 = 5ab(a+b)(a²+ab+b²)
Exemplo:(1+2)5-15-25=5×1×2×(1+2)(1²+1×2+2²)
13. Quadrado da soma de n termos
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sendo que i<j.
Exemplos:
(a+b)²=a²+b²+2(ab)
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)
(a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
14. Cubo da soma de n termos
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sendo que i<j ei<j<k.
15. Diferença entre os quadrados da soma e diferença
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(a+b)² - (a-b)² = 4ab
Exemplo: (7+9)²-(7-9)²=4×7×9
16. Soma dos quadrados da soma e da diferença
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(a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²)
Exemplo: (3+5)²+(3-5)²=2(3²+5²)
17. Soma de dois cubos-------------------------------------------------
a³+b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b)
Exemplo: 2³+4³=(2+4)³-3×2×4×(2+4)
18. Soma de dois cubos na forma fatorada
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a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
Exemplo: 5³+7³=(5+7) (5²-5×7+7²)
19. Transformação do produto na diferença de quadrados
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ab = [½(a+b)]² - [½(a-b)]²
Exemplo: 3×5=[½(3+5)]²-[½(3-5)]²20. Diferença de potências (ordem 4)
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a4-b4 = (a-b)(a+b)(a²+b²)
Exemplo: 54-14=(5-1)(5+1)(5²+1²)
21. Diferença de potências (ordem 6)
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a6-b6 = (a-b)(a+b)(a²+ab+b²)(a²-ab+b²)
Exemplo: 56-16=(5-1)(5+1) (5²+5×1+1²)(5²-5×1+1²)
22. Diferença de potências (ordem 8)-------------------------------------------------
a8 - b8 = (a-b)(a+b)(a²+b²)(a4+b4)
Exemplo: 58-18=(5-1)(5+1)(5²+1²)(54+14)
23. Produto de três diferenças
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(a-b)(a-c)(b-c) = ab(a-c) + bc(b-c) + ca(c-a)
Exemplo: (1-3)(1-5)(3-5)=1×3×(1-5)+3×5×(3-5)+5×1×(5-1)
24. Produto de três somas
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(a+b)(b+c)(c+a) =...
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