poisson
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2.Distribuições de Probabilidade para variáveis contínuas
2.1.
Distribuição Gama
2.1.1. Definições
Definição. A Função Gama, denotada por , é assim definida:
( )
∫
Pode-se demonstrar que essa integral imprópria existe (converge) sempre que
Se integrarmos por partes, fazendo
( )
|
e
∫ [
(
) (
(
.
, obtem-se
)
]
(
)∫
)
Deste modo, mostramos que a função gama obedece a uma interessante relação derecorrência. Suponha que
seja inteiro positivo, digamos
. Então, aplicando-se
esta relação repetidamente, obtem-se
( )
Porém, ( )
(
) (
∫
)
(
)(
) (
)
(
)(
)
( )
, e, por isto, tem-se que
( )
(
)
se n for um inteiro positivo. Portanto, pode-se considerar a função gama como uma generalização da função fatorial.
Tem
um
resultado
importante,
que
é
( )
⁄
∫
demosntração sugere-se fazer a mudança de variável
√
(para
a
).
Definida a função gama pode-se definir a distribuição de probabilidade gama.
Definição. Seja
uma variável aleatória contínua, que tome somente valores não-
negativos. Diz-se que
tem uma distribuição de probabilidade gama –
se sua função de densidade de probabilidade for dada por
(
)
( |
)
( )
É fácil ver que ∫
⁄
( )
.
2.1.2. Propriedades
A distribuição gama apresenta uma aplicabilidade muito grande por ter uma forma muito flexível. A distribuição apresenta formas variadas quando se altera os valores do parâmetro tais como pode-se verificar na figura 1.
Distribution Plot
Gamma
alfa
1
1
2
2
4
4
1,0
Density
0,8
beta
1
2
1
2
1
2
0,6
0,4
0,2
0,0
0
5
10
15
20
25
X
Figura 1: Distribuição Gama para diversos parâmetros.
Se
(
) então ( )
Se
(
) então a variável aleatória
–
(
( )
e
. tem distribuição Gama Inversa
), e sua função densidade de probabilidade é dada