Percentagem

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O cálculo de percentagens compostas ou concatenadas

Estamos falando de situações como a seguinte:

Se a inflação de novembro foi 3% e a de dezembro foi 5%, qual a inflação dos dois meses?

A enorme maioria das pessoas acha que esse tipo de problema resolve-se por soma. Isso é totalmente errado. Problemas deste tipo são resolvidos por multiplicação. Vejamos:

Se no início de novembro, umproduto custava p reais, no início de dezembro ele custará p reais mais 3% de p, ou seja, custará p' = p + 0,03 p = 1,03 p.

O novo preço p' terá subido, no início de janeiro, para:

p''= 1,05 p' = 1,05 x 1,03 p = 1,0815 p .

Conseqüentemente, a inflação total foi de 8,15 %.

É simplesmente fundamental que V. entenda isso. Para tal, faça os seguintes problemas, de ordem crescente dedificuldade:

EXERCÍCIO 1

Maria e José ficaram janeiro e fevereiro na praia. Maria engordou 10% em jan e 20% em fev, já José engordou 20% em jan e 10% em fev. Quem engordou mais?

RESPOSTA: sabendo que podemos fazer o produto de dois números em qualquer ordem, sem alterar o resultado, é desnecessário fazer qualquer conta para ver que os dois engordaram o mesmo percentual .

EXERCÍCIO 2

Senossa Maria tivesse engordado 10% em jan, mas emagrecido 10% em fev, qual o efeito total?

RESPOSTA: pelo que já vimos, espero que V. tenha saído da vala comum da imensa maioria dos vestibulandos, os quais acham que o efeito total é zero ( pois 10 - 10 = 0 ). Claro que não é, pois 1,10 x 0,90 não é 1, mas 0,99 ( ie, Maria emagreceu 1%)

EXERCICIO 3

Se uma caderneta de poupança rende 0,5% aomês, uma aplicação de 300 reais terá que saldo após 8 meses?

RESPOSTA: V. já sabe que o juro pago não é 8 x 0,5 = 4 % e que então o saldo não é 1,04 x 300 , mas sim :

1,0058 x 300 = 1,040707 x 300 = 312,21

EXERCICIO 4

No custo industrial de um livro, 60% é devido ao papel e 40% a impressão. Sendo que num ano o papel aumentou 259% e a impressão 325%, qual o aumento percentual no custo dolivro?

RESPOSTA: 285,4 %

EXERCICIO 5 (muito importante)

A incidência da malária vinha dobrando a cada 2 anos. Qual o aumento percentual anual equivalente?

RESPOSTA: Indicando por x o percentual procurado, pelo visto acima, em dois anos, o número de malarientos passa de M para

M' = ( 1 + x )2 M = 2 M

Tudo o que lhe resta fazer é resolver para x = 0,41 = 41% , aproximadamente.Aumentos e diminuições percentuais

A rigor já trabalhamos com isso acima, no exercício 2. Examinemos novamente a idéia envolvida, usando exemplo:

Se as vendas de uma empresa aumentaram 20%, então elas passaram de v para v + 0,20 v = 1,20 v.

Se as vendas de uma empresa diminuiram 20%, então elas passaram de v para v - 0,20 v = 0,80 v.

EXERCICIO 6

Se o lucro mensal de uma empresaaumentar e diminuir, alternadamente, 10% ao mês, mostre que no final de um ano o lucro estará em 94% do lucro no início do ano. Consequentemente, terá havido uma diminuição anual de 6%.

EXERCICIO 7

A ocorrência do ciclo verão-inverno, ao contrário do que acha a vasta maioria das pessoas, não é governada pela menor ou maior proximidade da Terra em relação ao Sol, mas pela inclinação do eixode rotação da Terra.

Contudo, pode-se observar que o verão do hemisfério-sul ( HS ) é mais quente do que o verão do hemisfério-norte ( HN ). Para isso aponta-se duas causas:

a distância Terra ao Sol no verão do HS é 4 % menor do que a correspondente distância no verão do HN.
o HS tem mais oceanos
Pede-se: levando em conta apenas a primeira dessas causas, calcular em quantos percentos overão do HS é mais quente do que o verão do HN.

(NOTA: a partir de perguntas de vários de nossos visitantes, informamos que não está faltando nenhum dado numérico para se resolver este problema! Por outro lado, por "mais quente" queremos dizer "recebe mais energia calorífica")

RESPOSTA: 8.5 %


Pontos percentuais

A noção de "pontos percentuais", atualmente, é bastante empregada nos...
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