Pedagogia

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COLÉGIO PEDRO II CONCURSO PÚBLICO PARA PROFESSORES - 2002

PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA

COLÉGIO PEDRO II DIRETORIA GERAL SECRETARIA DE ENSINO

CONCURSO PÚBLICO PARA PROFESSORES DE ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO = 2002 =

PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA PARTE - QUESTÕES DISCURSIVAS (70 pontos) Todas as questões devem apresentar o raciocínio.
1ª questão: (valor: 4 pontos) Considere umacircunferência C e um ponto P, exterior à ela. Por este ponto, traçam-se duas tangentes à C, sendo A e B os pontos de tangência. Uma outra tangente à circunferência é traçada pelo ponto Q, pertencente a C, determinando os pontos de intersecção M e N, nas retas tangentes, conforme a figura. Sabe-se que PA = 17 cm .

N P Q M B

A

a) Obtenha o perímetro do triângulo PMN.

ˆ b) Expresse amedida do segmento AB em função do ângulo APB , na forma mais simplificada possível.

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PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA

2ª questão: (valor: 6 pontos) Observe a figura hexagonal, formada por três quadrados justapostos. O ponto A é o centro do quadrado de lado 2, o ponto B é o centro do quadrado de lado 4 e o ponto C é o centro do terceiroquadrado. a) Mostre que os segmentos AP congruentes e perpendiculares. e
BC

•B A• •P

são

C•

b) Uma transformação é aplicada aos pontos do menor quadrado, transformando o hexágono original no retângulo RSTV, delineado na figura abaixo. Determine a matriz associada a esta transformação. R S

V

T

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PROVA ESCRITA DEMATEMÁTICA

3ª questão: (valor: 6 pontos) As senhas de um determinado banco são formadas por seis algarismos não nulos, abcdef, e por um dígito verificador X. Para acessar sua conta, um cliente deve digitar os sete algarismos. O dígito X é definido como sendo o resto da divisão do número N = a bc + f de por 7. Por exemplo, na senha 165132, N é 165 + 213 = 8193, portanto o dígito X vale 3. a) Um clientetem como senha o número 232784. Determine o dígito X para esta senha. b) Um cliente esqueceu sua senha, mas sabe que o primeiro algarismo é 7 e o sexto é 1, isto é, tem a forma 7bcde1-X. Apesar do esquecimento, ele consegue determinar o dígito X. Que valor ele encontrou para X ? 4ª questão: (valor: 6 pontos) Considere o triângulo equilátero ABC, da figura. Ele está inscrito em um círculo de raio 4cm, centrado na origem do plano de Argand-Gauss. a) Escreva o complexo z, associado ao ponto A B A

C

b) Apresente uma equação polinomial de coeficientes reais, de menor grau possível, que possua como raízes os números complexos associados aos vértices do triângulo ABC. 5ª questão: (valor: 8 pontos) Numa gincana participam duas equipes, A e B. Uma das tarefas consiste na criação de umalinguagem para a qual foram feitas as seguintes definições:
• Um conjunto de k elementos distintos constitui um alfabeto de k caracteres. • Qualquer seqüência de 1 ou mais caracteres (distintos ou não) de um alfabeto constitui uma palavra. • O número de elementos da seqüência determina o comprimento da palavra.

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PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICAGanha a prova a equipe cuja linguagem gera o maior número de palavras de um determinado comprimento n. A equipe A criou um alfabeto com apenas dois caracteres e suas palavras podem repetir à vontade esses caracteres. Por acaso, a equipe B criou um alfabeto com exatamente n caracteres, mas todas as suas palavras são formadas apenas por caracteres distintos. a) Determine quantas palavras decomprimento n podem ser formadas pela linguagem da equipe A. Chame esta expressão de FA. b) Determine quantas palavras de comprimento n podem ser formadas pela linguagem da equipe B. Chame esta expressão de FB. c) Apresente o menor valor de n, para o qual a equipe B ganha a prova. Chame este número de p. d) Prove, pelo Princípio da Indução Finita, que FB > FA, ∀ n ≥ p. 6ª questão: (valor: 8 pontos)...
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