Passo 1 Etapa 4

Passo 1 – Etapa 4
O conceito de Derivada
Newton e Leibniz introduziram os conceitos de Derivadas, já estudadas por Fermat, onde relacionaram a noção de reta tangente a uma curva no plano, visto que a reta no ponto P de uma circunferência é uma reta que toca a circunferência em um ponto P, sendo perpendicular ao segmento OP, conforme figura abaixo:

Taxa de Variação
Para compreendermos melhor o conceito de Derivadas, vamos exemplificar a Taxa de Variação Média e a Taxa de Variação Instantânea.

Taxa de Variação Média
A Taxa de Variação Média pode ser calculada para qualquer tipo de função, seja do 1° grau, seja para 2° grau, dentre outras.
Vamos supor que a variável y representa a variável dependente e x a variável independente, nesse caso, terá uma taxa de variação média de y em relação a x, onde é dada pela razão:

Taxa de Variação Instantânea A taxa de Variação Instantânea é calculada por intervalos de tempo, num instante específico.
Considerando o instante x = a, iremos calcular as taxas de variação média para um intervalo de a até a+h, onde h representará o tamanho do intervalo:

Nesse caso, essa é a expressão da função da taxa de variação instantânea.

Derivada de uma Função em um Ponto
A derivada no ponto só existe se os limites laterais resultarem em um mesmo número, ou seja, se o limite no ponto a não existe, a derivada também não existirá.

Interpretação gráfica da Derivada
Sendo y = f(x), onde o gráfico é representado na figura abaixo, a derivada dy/dx para x = a é representada pelo coeficiente angular da tangente à curva no ponto x:

Taxa de Variação Instantânea como Inclinação da reta Tangente
A taxa de variação média de f(x) para o intervalo de a até a+h é dada pela inclinação da reta PQ, conforme figura abaixo:

Nesse caso, podemos compreender que à medida que h→0, a reta secante PQ também tende para uma posição limite, ou seja, representada pela reta tangente à curva no Ponto P, quando h→0, teremos Q→P e a Reta secante PQ →