Particula oscilando na presença de um campo eletrico uniforme

Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Física FSC5506 – Estrutura da Matéria I
Seminário: Partícula oscilando na presença de um campo elétrico uniforme

Oscilador Harmônico Clássico (1)
●

De acordo com a física clássica:

1 V (x)= k x² 2 d²x =−kx dt² k x=x m cos(ω t−ϕ), ω= m m ω ² xm ² p² kx² E=K +V = + ⇒ E ( x=xm )= 2m 2 2 F ( x)=−∇ V =−kx ⇒ m

√

Oscilador Harmônico Clássico (2)
●

Densidade de probabilidade:

Oscilador Harmônico Quântico (1)
●

Na mecânica quântica, o Hamiltoniano H é o observável correspondente à energia total do sistema p2 1 H= + m ω2 x 2 2m 2

●

O primeiro termo representa a energia cinética da partícula, enquanto que o segundo representa sua energia potencial.

Oscilador Harmônico Quântico (2)
●

Com o fim de obter os estados estacionários temos a equação de Schrödinger independente do tempo:
Ψ (x)=
II

2m 1 ( kx ²−E)Ψ (x) ℏ² 2

●

Os níveis de energia são encontrados atravez da equação
2mE 2 π mu Ψ ( x)+( −( ) ²x ²) Ψ ( x)=0 ℏ ℏ
II

Oscilador Harmônico Quântico (3)
●

Sabendo que:
2πmu 2mE a= , β= ℏ ℏ²

●

Encontramos soluções do tipo:
Ψ (u)= A exp( −u² ) H (u) 2

●

Sendo H(u) uma série que contém infinitos termos.

Oscilador Harmônico Quântico (4)
●

Podemos obter autofunções aceitaveis , forçamos alguns termos da série e chegamos que β =2n+1 a

●

Com isso, substituindo as variáveis, temos que
1 E=(n+ ) ℏ ω , níveis de energia 2

Oscilador Harmônico Quântico (5)

Funções de onda para os primeiros seis autoestados. O eixo horizontal mostra a posição y em unidades (h/2πmω)1/2. O gráfico não está normalizado.

Densidade de probabilidade (1)
●

A função de onda do estado de menor energia do oscilador harmônico simples é
−√ C m −i Ψ (x ,t )= A exp( x² )exp( √ Cm t) 2ℏ 2

●

A densidade de probabilidade é
̊ P= Ψ Ψ P= A exp( −√ C m i −√ C m −i x² )exp( √ Cm t ) A exp( x² )exp( √ Cm t) 2ℏ 2 2ℏ 2

Densidade de probabilidade (2)
−√ (C m)