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´ Departamento de Matematica - Universidade de Coimbra ´ Algebra Linear e Geometria Anal´ ıtica Mestrado Integrado em Engenharia Qu´ ımica 2010/2011 Matrizes 1. Escreva a matriz m × n que na linha i,coluna j tem o elemento aij , sendo: (a) m = 3, n = 4 e aij = i2 × j − 2, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4; (b) m = 4, n = 2 e aij = (−1)i+j (2i − j), i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2. 2. Calcule a matriz A + B,se poss´ ıvel, nos seguintes casos:         1 2 3 −1 0 −1 1 −3 1 ; (a) A =  2 3 1  e B =  2 3 (b) A =  0  e B =  2  ; 3 1 2 1 2 0 1/4 1/5   1 0 1 − 3i 2i 1/2 + 6i 3  −2 4  e B = 32 ; (c) A = (d) A = eB= 2 3 0 1 + 4i 2 i 5 1 3. Considere as matrizes       1 3 √6 1 0 3 6 0 3 6 −1 3 , B =  −3 2 4 −3  e C =  −2 A =  2 −2 4 4 3 . −1 1 5 −9 4 −5 5 2 1 1/2 −9 Se poss´ıvel, calcule: (a) A − 2B; (b) 3C; (c) B + 3C. Folha 1

.

4. Calcule o produto AB, quando definido, nos seguintes casos:     −1 2 −1 3 2+i 0 2  e B =  2 ; (a) A =  4 3 (b) A = −1 − 3i 5i 0 1 2−2   1 2 4  2 . (c) A = eB= 5 −3 3

eB=

1 − 2i 2

;

5. Calcule os produtos AB e BA, quando definidos, nos seguintes casos:       1 2 −1 2 1 3 2  e B =  0 3 ; (a) A =  2 0 (b) A= 1 0 −1 e B =  2  ; 3 1 3 4 2 1     1 2 −2 6 3 2  −2 eB= 2 1 2 1 2/3  . (c) A = −2 −4 4 5 5/2 5/3 6. Considere as matrizes A= 1 0 1 −1 1 1 , B= −1 1 1 −1 , C= 1 2 e  1 0 D =  0 1 . 1 1

Escolha uma maneira de as ordenar de tal modo que o produto das quatro matrizes esteja definido e calcule esse produto.

7. Mostre que se os produtos AB e BA est˜o a tipo n × m.    2 −1 3 5 48. Sejam A =  1 ∗ 4  e B =  1 0 ∗ ∗ 2 2 −3 de AB que est´ na linha 1, coluna 2. a 9. Calcule:  2 2 1 1 (a)  3 1 0  ; 0 1 2

ambos definidos e A ´ do tipo m × n, ent˜o B ´ do e a e  2 7 .Calcule a terceira coluna de BA e o elemento 1

(b)

2 1 1 3

3

;

(c)

3 2 −4 −2

5

;

3 0 1 0 (d)  0 0 1  . 0 0 0 

10. Prove que o produto de duas matrizes triangulares...
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