p2 calculo 4 ufrj

Universidade Federal do Rio de Janeiro d d d d d d

d d d d d d

Instituto de Matem´tica a Departamento de Matem´tica a Gabarito da 1o Prova

Disciplina: C´lculo Diferencial e Integral IV a Unidades: Escola Polit´cnica e Escola de Quimica e C´digo: o Turmas: Engenharias

MAC 248

2o Sem/2012

Data: 18/12/2012

(1) (2,0 p) Analise a convergˆncia das s´ries abaixo indicadas: e e
∞

(a) n=1 ∞

(b) n=0 cos(nθ)
√ , (1,0 p) n n
(−1)n (n2 + 5)
, (1,0 p) n3 + 1

Resposta:
a) Seja bn =

cos(nθ)
√
n n

∀ n ≥ 1 logo

|bn | = |

cos(nθ)
√ | ≤ cn , n n

∀n ≥ 1 e ∀θ ∈ R
∞

onde cn =

1
√ . n n

Observemos que a s´rie associada e cn converge pois ´ uma s´rie e e n=1 p− Harmˆnica (ou p-s´rie) com p = 3/2 > 1 logo convergente. Ent˜o pelo crit´rio o e a e de compara¸ao, temos que c˜ ∞

|bn | n=1 converge. Por propriedades das s´ries abs. convergentes afirmamos que e ∞

bn n=1 converge.
b) Seja bn =

(−1)n (n2 +5)
.
n3 +1

|bn | =

Observemos que

n2 + 5 n2 (1 + 5/n2 )
1 (1 + 5/n2 )
= 3
=
, n3 + 1 n (1 + 1/n3 ) n (1 + 1/n3 )
∞

considerando a sequˆncia dn = e 1 n e lembrando que a s´rie associada e dn diverge n=1 e tomando limite
(1 + 5/n2 )
|bn |
= lim
= 1 > 0, n→∞ dn n→∞ (1 + 1/n3 ) lim 2

aplicando o crit´rio de compara¸˜o por limite, ambas s´ries divergem, isto ´, e ca e e
∞

|bn | n=1 diverge.
Agora olhemos a s´rie como uma s´rie num´rica alternada. Usaremos o Crit´rio e e e e de Leibniz para mostrar que ela ´ convergente, isto ´, precisamos mostrar que: e e
i) limn→∞ bn = 0, e ii) bn+1 ≤ bn .
(x2 +5)
Para mostrar i), tomemos limite na fun¸ao f (x) = (x3 +1) quando x → ∞, aplic˜ cando a regra de L’Hˆspital, pois os polinˆmios s˜o diferenci´veis, obtemos o o a a
2x
2
= lim
= 0 x →∞x 3x2 x →∞ 3x

lim f (x) = lim

x →∞

logo lim f (n) = 0

n →∞

Em rela¸ao a ii)