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Integral de Riemann

No ramo da matemática conhecido como análise real, a integral de Riemann, criada por Bernhard Riemann, foi a primeira definição rigorosa de uma integral de uma função em um intervalo. Enquanto a integral de Riemann é inadequada para muitos propósitos teóricos, ela é uma das definições mais fáceis de integral. Algumas deficiências destas técnicas podem ser remediadaspela integral de Riemann-Stieltjes, e a maioria delas desaparece na integral Lebesgue.



Figura 2
Seja  uma função não negativa válida para os números reais do intervalo , e seja  uma região plana sob a função  e acima do intervalo  (veja a figura 2). O nosso interesse é medir a área de . Uma vez realizada esta medição, iremos denotá-la por:

A ideia básica de integral de Riemann é muito simplesde usar e não deixa ambiguidade para a área de . Para se ter uma aproximação cada vez melhor, nós podemos dizer que "no limite" iremos obter exatamente a área de  sob a curva.
Note que onde  pode ser positivo e negativo, a integral corresponde à "área com sinal"; isto é, a área acima do eixo  é positiva e a área abaixo do eixo  negativa.


Uma soma de Riemann. O número na parte superiorrepresenta a soma das áreas dos retângulos azuis. O valor converge para o integral da função.

Definição da integral de Riemann
Partições de um intervalo

Uma partição de um intervalo  é uma sequência finita . Cada  é denominado como um sub-intervalo da partição. A malha de uma partição é definida como o comprimento do mais longo sub-intervalo , isto é, aquele em que  onde . Isto também é conhecidocomo norma de partição.
Uma partição de um intervalo etiquetado é uma partição de um intervalo juntamente com uma sequência finita de números  sujeito a condição que para cada , . Em outras palavras, isto é uma partição juntamente com um ponto distinto para cada sub intervalo. A malha de uma etiqueta é definida da mesma forma que para uma partição ordinária.
Suponha que  juntamente com  são umapartição etiquetada de , e que  juntamente com  seja uma outra partição etiquetada de . Nos poderemos dizer que  e  juntas são um refinamento da  juntamente com  se para cada inteiro  com , exista um inteiro  tal que  e tal que  para algum  com . Falando de uma maneira mais simples, um refinamento de uma partição de etiqueta pega uma partição inicial e adiciona mais etiquetas, mas isto não chegaa lugar algum.
Nos podemos definir uma ordem parcial um subconjunto de todas as etiquetas de partição significando que uma etiqueta de partição é maior do que outra se a maior é um refinamento da menor.

Soma de Riemann

Escolha uma função válida para números reais  a qual se encontra definida no intervalo . A Soma de Riemann de  com respeito a partição denominada  com  é:

Cada termo nasoma é o produto do valor da função em um ponto dado e o comprimento do intervalo. Consequentemente, cada termo representa área de um retângulo com a altura  e o comprimento . A soma de Riemann é a área sinalizada de todos os retângulos.
A integral de Riemann

Grosseiramente falando, a integral de Riemann é o limite da soma de Riemann com uma função de partição que se afine cada vez mais.Contudo, o significado preciso a cerca do que significa "cada vez mais fino" é o mais importante.
Um fato importante é que a malha de partição deve ser tornar menor e menor, até que seu limite atinja zero. Se isto não for assim, então não poderemos ter uma boa aproximação para esta função em certos intervalos. De fato, isto é suficientemente bom para definir uma integral. Para ser especifico, nosdizemos que a integral Riemann de  se igualara a  se as seguintes condições foram consideradas:
Para todo , onde exista  tal que para qualquer partição etiquetada  e  onde a malha seja menor que , nos temos:

Contudo, existe um problema desagradável com esta definição: ela é muito difícil para se trabalhar. Então faremos uma definição alternativa para a integral de Riemann a qual seja mais fácil...
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