Oscilador hamonico

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 15 (3632 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 22 de fevereiro de 2013
Ler documento completo
Amostra do texto
O oscilador harmônico

Aplicar o formalismo quântico ao caso de um potencial de um oscilador harmônico simples, V (x) = 1 kx 2. 2

15
Meta da aula

objetivos

• obter a solução da equação de Schrödinger para um oscilador harmônico simples quântico; • comparar esses resultados com o correspondente oscilador clássico.

AULA

Pré-requisitos
Para melhor compreensão desta aula, vocêdeverá rever o oscilador harmônico clássico, que estudou em Física 2A e Mecânica Clássica, e seus estudos sobre equações diferenciais e séries de potências das disciplinas de Cálculo.

Introdução à Mecânica Quântica | O oscilador harmônico

O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES
O oscilador harmônico simples é um dos primeiros sistemas que estudamos na Mecânica Clássica e também um dos mais importantes.Uma de suas realizações experimentais mais simples é por meio de uma massa m ligada a uma mola ideal de constante elástica k. A mola exerce sobre a massa uma força restauradora F = −kx (Lei de Hooke) sempre que a partícula sofre um deslocamento x, medido a partir da posição em que a mola está relaxada. O sistema é descrito por uma energia
1 potencial V (x) = 2 kx 2, e as soluções da equação demovimento de Newton

são funções x(t) que oscilam no tempo com a freqüência natural do oscilador, ω = k m. Ao longo do seu curso, você deve ter percebido que a importância do oscilador harmônico na Física Clássica vai muito além do sistema massa-mola. Oscilações harmônicas surgem em uma imensa variedade de sistemas: pêndulo, fluidos, circuitos eletromagnéticos etc. Um sistema “massa-mola” quânticoé definido por uma partícula
2 1 quântica de massa m sob ação de um potencial da forma V (x) = 2 kx ,

tal como o ilustrado na Figura 15.1. V(x)

0

x

Figura 15.1: O potencial do oscilador harmônico.

Assim como na Física Clássica, o oscilador harmônico também tem uma importância fundamental na Mecânica Quântica. O motivo para isso é que sempre podemos aproximar o ponto de equilíbriode um potencial qualquer, V(x), pelo potencial parabólico do oscilador harmônico, como ilustrado na Figura 15.2. Graficamente, isso significa encontrar a parábola que melhor se ajusta ao potencial em torno do mínimo. Se a energia total da partícula for suficientemente pequena, de

60

CEDERJ

o sistema será aproximadamente harmônico. V(x)

V(a) a x

Figura 15.2: O potencial V(x) (linhacheia), aproximado na região do entorno de seu mínimo, em x = a, por um potencial parabólico, típico de um oscilador harmônico (linha tracejada).

Analiticamente, podemos encontrar o potencial harmônico que aproxima V(x) na vizinhança do ponto x = a, em que V(x) tem um mínimo, considerando a expansão em série de Taylor em torno do mínimo,

 d 2V  1  dV  V (x) = V (a) + (x − a)  + (x − a)2 2  + ...   dx  x = a 2 ,  dx  x = a  d 2V  1 ≈ V (a) + (x − a)2  2  2  dx  x = a
(15.1)

já que a primeira derivada do potencial, em x = a, é nula, por se tratar de um mínimo. Assim, vemos que o potencial de oscilador harmônico

 d 2V  com k =  2  é uma aproximação de V(x) em torno do mínimo.  dx  x = a
Desta forma, o potencial harmônico pode ser utilizado em casos emque existem pequenas oscilações em torno de pontos de equilíbrio estável, como, por exemplo, no estudo de vibrações de moléculas ou dos átomos em um sólido.

SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
No caso do oscilador harmônico, a equação de Schrödinger tem a forma:



h2 d 2ψ (x) 1 2 + kx ψ (x) = Eψ (x) , 2m dx 2 2

(15.2)

CEDERJ

61

AULA

onde a parábola é uma boa aproximação àcurva de energia potencial,

15

modo que a partícula passa a maior parte do tempo em torno do mínimo,

MÓDULO 2

Introdução à Mecânica Quântica | O oscilador harmônico

que tem soluções para valores positivos da energia E. Costuma-se reescrever a Equação (15.2) utilizando as definições da freqüência angular do oscilador clássico,ω = k / m, e das variáveis adimensionais

λ = 2E /(hω ) e...
tracking img