Oscilações mecânicas

Resumo: Análise de movimentos oscilatórios do tipo massa-mola, que envolvem equações diferenciais não homogêneas, cuja solução será mostrada de forma simplificada.Oscilador Amortecido:
Num sistema massa-mola em que um corpo está submerso num líquido, a energia mecânica se dissipa em calor e a amplitude x(t) diminui com o tempo. A força viscosa amortecedora pode serrepresentada por:
Fa=-bdxdt
onde b é uma constante que descreve a intensidade do amortecimento.
Portanto:
md2xdt2=-kx-bdxdt
que é uma equação do tipo:
Ad2xdt2+Bdxdt+Cx=0
cuja solução é dada por:xt=x0e-(B2A)tcosωt
onde xo e ω são constantes e :
ω=CA-B2(4A2)

No caso do sistema massa-mola amortecido:
x(t)= x0e(-b/2m)tcosω1t
onde xo é a amplitude máxima e ω1, a frequência angular é dadapor:
ω1=km-b24m2
onde b2m=γ e ω0=km

Portanto:
ω1=km-γ2=ωo1-γ2ωo2
ou: ω12=ωo2-γ2
A distinção de ωo e ω1 é muito pequena, apesar de ω1>ωo.Mas a amplitude x(t) decai exponencialmente até zerar, quanto maior o valor de b, mais rápido é esse decaimento.
Oscilador Amortecido forçado:
Quando uma força externa é aplicada num oscilador temos:md2xdt2+bdxdt+kx=FocosΩt
cuja solução é dada por:
xt=xoΩcos⁡(Ωt-δ)
Então, a amplitude máxima de oscilação será:
xoΩ=Fo(k-mΩ2)2+b2Ω2=Fom(ωo2-Ω2)2+4γ2Ω2
x0(Ω) será máximo quando:
Ωr=ωo2-2γ2
queé a frequência de ressonância.



Prática:
1) Oscilador Livre.
Determine o valor da constante elástica da mola, k, e a frequência angular de oscilação do oscilador livre, ωo , conhecendoseu período de oscilação, T1 ;
Utilizando a equação:
ωo=2πTo=k2m2

E em posse dos dados:
To=1,74s
To=1,76s => To=1,76±0,05s
To=1,76s
m=36,430±0,001g
temos que:
k=0,467±0,002ωo=3,58±0,05Hz

2) Oscilador amortecido.
a) Determine o valor da frequência angular do oscilador amortecido, ω1 , conhecendo seu período de oscilação, T1;
Utilizando a equação:
ω1=2πT1
e em posse dos... [continua]

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(2012, 06). Oscilações mecânicas. TrabalhosFeitos.com. Retirado 06, 2012, de http://www.trabalhosfeitos.com/ensaios/Oscila%C3%A7%C3%B5es-Mec%C3%A2nicas/249877.html

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