Os três problemas clássicos da matemática

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DUPLICAÇÃO DO CUBO Dos três famosos problemas clássicos da matemática grega – a duplicação do cubo, a trissecção do ângulo e a quadratura do círculo – extremamente importantes no desenvolvimento da geometria, a duplicação do cubo foi talvez o mais famoso, na Antiguidade. A duplicação do cubo é um problema de enunciado muito simples e talvez por esse motivo tenha despertado o interesse dematemáticos, e não só, ao longo dos tempos. Mas a primeira questão que se coloca ao escrever sobre este problema é: como terá surgido o problema da duplicação do cubo? O problema da duplicação do cubo teve início no século V na Grécia. Esse é também o mais antigo dos três problemas clássicos gregos sem solução com régua e compasso. Uma das versões do problema diz que sua origem está veiculada a peste queteria dizimado um quarto de população grega, o que teria feito uma delegação consultar o oráculo de Apolo em Delos para perguntar de que maneira se poderia acabar com a epidemia. Em resposta, o oráculo teria respondido que se duplicassem o altar cúbico de Apolo, o problema seria sanado. Os atenienses dobraram a aresta do altar achando que haviam satisfeito a vontade do deus. Puro engano; tinhammultiplicado seu volume por oito. Outra versão fala da origem do problema deliano é a carta enviada por Eratóstenes ao rei do Egito, Pitolomeu III. Nela, Eratóstenes narra que o rei Mirros ao verificar as dimensões do túmulo que mandara fazer para seu filho Glauco, teria dito: ―Pequeno espaço para sepulcro de um rei! Dupliquem-no, conservando-lhe a forma‖. E Glauco foi sepultado num túmulo de volumeoito vezes maior. Os gregos obviamente estavam familiarizados com um problema semelhante, porém bem mais simples: duplicar o quadrado.

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Dado um quadrado ABCD, traçar a sua diagonal BD e construir um quadrado de lado BD. É fácil perceber que BDEF tem o dobro da área de ABCD. Assim dado um quadrado de lado a é possível encontrar outro quadrado de lado b cuja área seja o dobro da área doprimeiro, portanto (onde b é a diagonal do quadrado original).

Talvez tenha sido esta simples construção que levou os gregos a pensarem em uma solução para o problema da duplicação do cubo. O primeiro grande passo foi dado por Hipócrates de Chios, provavelmente não muito depois da aparição do problema. Ele propunha encontrar duas médias proporcionais entre segmentos de comprimento s e 2s, ou seja,achar x e y tal que:

Da primeira igualdade deduzimos que

e da segunda igualdade que

.

Substituindo o valor de y na segunda igualdade temos que

. Assim dado o cubo de

lado s encontramos outro de lado x tal que o volume do segundo é o dobro do volume do primeiro. Porém não há construção geométrica para esta dupla proporção. A partir desse primeiro passo dado por Hipócrates de Chiosas tentativas de solucionáção com régua e compasso se prolongaram por mais de 2.000 anos. Este trabalho tenta mostrar as três últimas tentativas de solucionar a duplicação do cubo. As soluções apresentadas por Gaetano Buonafalce, Giuseppe Vargiù e Gaetano Boccali no final do século XIX, são bastante curiosas do ponto de vista do erro encontrado, podendo estes métodos levar a outrosquestionamentos matemáticos. As soluções e demonstrações constantes nesse trabalho não foram encontradas em nenhuma obra e, portanto, são interpretações dos próprios autores. Assim sendo, a partir de cada enunciado nos detivemos em mostrar a solução com régua e compasso e em seguida a prova matemática. As soluções apresentadas por Buonafalce, Vargiù e Boccali. No final do século XIX, três matemáticos italianosapresentaram soluções bastante curiosas que, se não solucionaram definitivamente, pelo menos dão boas aproximações.

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O método de Gaetano Buonafalce Gaetano Buonafalce é o que apresenta uma solução mais simples. Para ele: Se tirarmos da aresta de um cubo a sexta parte da diagonal da face, o segmento desta face que liga o vértice oposto a esse ponto é a aresta do cubo de volume duplo com...
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