Operadores diferenciais

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Tutorial

Operadores diferenciais de primeira ordem (Gradiente, Divergência e Rotacional)

Autora:

Ana Lúcia Vieira Iaremczuk

18 de janeiro de 2011

Sumário
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Introdução...................................................................................................................................... 3 Operador Nabla............................................................................................................................ 3 Gradiente ........................................................................................................................................ 6 Divergência (Divergente) ......................................................................................................... 8 Rotacional...................................................................................................................................... 9 Laplaciano ....................................................................................................................................10 Exercícios Propostos................................................................................................................11Referências .....................................................................1Erro! Indicador não definido.

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1. Introdução
Este tutorial foi desenvolvido objetivando contribuir para o aprendizado dos operadores diferenciais de primeira ordem, apresentando uma noção teórica e exemplos, assim como promover a integração com outras matérias através da exibição de algumas aplicações,principalmente no âmbito do eletromagnetismo. Para o entendimento deste documento, é necessário ter conhecimento a respeito de vetores, derivadas parciais e resolução de equações diferenciais, sendo o último dispensável para a compreensão dos operadores em discussão.

2. Operador Nabla
O operador vetorial nabla, em coordenadas cartesianas ortogonais, é descrito por: ⃗ ⃗ ⃗⃗ .

em que ⃗ ⃗ ⃗⃗ são osvetores ortonormais da base canônica do

Isoladamente, não possui significado geométrico. Porém, adquire essa característica quando associado a funções escalares ou vetoriais. Suas associações possuem uma denominação própria e estão apresentadas a seguir: Gradiente : Produto entre o operador nabla e uma função escalar. Resultado: Vetor. ⃗⃗ : Produto escalar entre operador nabla e uma função Divergente vetorial. Resultado: Escalar. ⃗ : Produto vetorial entre operador nabla e uma função  Rotacional vetorial. Resultado: Vetor.  Abaixo segue um exemplo mostrando como resolver cada uma das associações acima.

Exemplo 01: Se (d) ⃗ e (e) e ⃗ ⃗ . 3 ⃗ ⃗ ⃗⃗ , encontre (a) , (b) ⃗, (c) ⃗,

(a)

(⃗ ⃗



⃗⃗

) ⃗⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ )



(b)



(⃗



⃗⃗

) ((c) ⃗ |

⃗ ⃗

(⃗ ⃗⃗

⃗ |

⃗⃗

)

(





⃗⃗ )

( ) ⃗⃗ (d) ( ⃗) ⃗ ( ⃗)

)⃗ ⃗ (

( ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

)⃗

(

⃗⃗ )

(e) |

( ⃗) ⃗

( ⃗) ⃗ ⃗⃗

( |



⃗ ⃗

⃗⃗ )



⃗⃗

Há algumas fórmulas envolvendo esses operadores que podem auxiliar na resolução de alguns exercícios. São elas: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) ⃗) ⃗ ⃗ (⃗ ⃗) ⃗ ⃗ (⃗ ⃗ ⃗ ( ⃗) ⃗ ⃗ ( ⃗) ⃗ ( ⃗ ⃗) ⃗ ( ⃗⃗) ⃗( ⃗ ) ( ⃗ ( ⃗ ⃗) ( ⃗ ) ⃗

)⃗





4

⃗ ⃗) ⃗ 8) ( ⃗ ⃗ ) ( ⃗ ) ⃗ ( ⃗ ) ⃗ ⃗ ( 9) . O rotacional do gradiente de é zero. ⃗) 10) ( . O divergente do rotacional de ⃗ é zero. Exemplo 02: O Rotacional de ⃗ é por Quanto é o ( ( ⃗) ⃗)? (⃗ ⃗ ⃗⃗ ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗.

Exemplo 03: O Rotacional de ⃗ Quanto é o ( ( ⃗))? ( ( ⃗⃗ ) ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ⃗)) ⃗ ( ( ⃗)) ⃗ ⃗ é por ( ⃗) ⃗⃗. ( ⃗) ⃗

Exemplo 04: O Gradientede Quanto é o é por ? ⃗ ⃗ ⃗⃗ .

5

(⃗ ⃗ | | ⃗



⃗⃗ ⃗⃗

)

(





⃗⃗ )

| |

( ( ⃗

)⃗ ) ⃗⃗

(

)⃗



⃗⃗

3. Gradiente
O gradiente de um campo escalar é um vetor resultado da multiplicação do operador nabla e de uma função escalar. (⃗ ⃗ ⃗⃗ ) ⃗ ⃗ ⃗⃗

Ele representa em direção, módulo e sentido a máxima taxa de variação de um campo escalar. Dessa forma,...
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