Operador momento angular

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Momento angular L

i


L  r p  x


k

y

px

Definição:


j

py

z  L x  yp z  zp y ... Mais permutações
cíclicas
pz





ˆˆˆˆ
L  r  p  r   i  


ˆ
ˆ ˆ ˆˆ
 L x   yp z  zp y   i y  z ...
 z
y 





ˆˆ
Uma vez que x, p x
são nulas, então

Lx , Ly  

Mais permutações cíclicas

ˆˆ
ˆˆ
  y, p y  z, p z   i e as outras combinações de comutação

iLz

Mais permutações cíclicas

Definindo o operador

ˆ
ˆˆ ˆ
ˆ
ˆ
L2  L  L  L2  L2y  L2
x
z

Concluímos que:

L , L   L , L   L , L  
2

2

x

2

y

z

0

 L   L x  iL y


Podemos escrever
 L  L  iL

x
y

Definindo os
operadores

 L L 

L2  L2z  Lz

 L- L  

L x  1 L   L  
2


 L   i L  L 

y 2 

L2  L2  Lz
z

 L  , L-   L  L-  L- L   2Lz

 Lz , L    Lz L   L  Lz   L 

Pois:

Lz , Lx
, Ly
Lz , Lx   iLz , L y     iLz  Lx  iL y   L







iL y

 L  , L2  L  L2  L2 L   0

iL x

Sabendo que:
 Operador hermitiano determina uma baseortonormal de auto vetores
 Operadores que comutam entre si podem ser diagonalizados simultaneamente,
então podemos escolher estados que sejam ao mesmo tempo auto-vetores do
operador L² e da componente Lz do momento angular. Ou seja vamos escolher estados

, m

 , m  ' , m'    ' mm'

tais que

L2 , m   2 , m ,

e que obedecem

Lz , m  m , m .

Note que:

1) oautovalor  tem que ser positivo, pois:

   , m L , m 
2

2


pois  , m L2 , m  , m  2 , m   2 , m , m   2

 

1 autovetors ortonormais


 , m L2  L2y  L2 , m 
x
z



L2
x

, m

2



L2y

, m

2



L2
z

, m

2

0






2) Os estados





L  , m

 L  , L2  0

também são auto vetores dosoperadores L² Lz pois, dado que:

 L  L2  L2 L 

  L   Lz , L    Lz L   L  Lz

 Lz L   L  Lz  Lz , L  

teremos

 L2 L  , m
 L z L  , m
mas

 L  L2 , m
 L  L z , m 

Lz , m  m , m

e

 L   2 , m   2 L  , m

Lz , L 

, m

Lz , L   Lz , Lx   iLz , L y    L substituindo

 Lz L  , m  mL , m 

 L , m  m  1 L  , m

Observe que os resultados nos permite concluir que os vetores
São respectivamente proporcionais a
Com isto, podemos escrever:

 m 1


L  , m  Cm  , m  1

L  m


L   , m  C m  , m  1

Como:

então

L †  L 
L  ,m

2

  ,m L  L  ,m   ,m L L  ,m


mas

 , m L L  , m  C

2
m

0

2
m

0 , m L L  , m  C

e

Por outro lado

 , m L  L   , m   , m L2  L2z  Lz  , m  0
  2   mm  1  0

 , m L  L   , m   , m L2  L2z  Lz  , m  0
v
  2   mm  1  0

e

  m(m  1)  0
------------m

++++++++++++++++++ - - - - - - - - - - - - - 1  1  4
2

m

- 1  1  4
2

  m(m  1)  0
-------------

++++++++++++++++++ -- - - - - - - - - - - m

1  1  4
2

mmin
Note que

1  1  4
2

m

mmax 

1  1  4
2

- 1  1  4
2

m max  m min  2m max

Chamando l= mmax teremos

mmin=-l

e

 =l(l+1)

Note que m varia de l até –l incluindo o zero, logo m terá (2l+1) valores possíveis

A partir de agora, passaremos a denominar os estados , m

por

l, m

Uma vez que:
 oMAIOR valor que m pode ter é quando m =l, então

L l , m  l  L l , l  0

 o MENOR valor que m pode ter é quando m =-l, então

L  l , m  l  L  l ,l  0

Veja que:


L  l , l  Cll l , l  1



L  l , l  1  Cll 1 l , l  2    L  l , l  n  Cll n l ,l

Assim, haverá um numero inteiro n tal que (l- n=-l ), ou seja l tem que ser
INTEIRO ou SEMI INTEIRO...
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