Ondas estacionarias

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Ondas Estacionárias
Para discutir o conceito de onda estacionária, vamos considerar uma corda
muito comprida, esticada ao longo do eixo X, com uma das extremidades fixa na
posição x = 0. Ao longo dessa corda, propaga-se uma onda progressiva transversal
em sentido contrário àquele tomado como positivo para o eixo X. Ao alcançar a
posição x = 0, a onda é refletida, propagando-se em sentidocontrário (Fig.18).

A onda progressiva incidente e a onda progressiva refletida são descritas,
respectivamente, pelas expressões:
y I ( x, t ) = A sen (kx + ωt )
e
y R ( x, t ) = A ' sen (kx − ωt )

Pelo princípio de superposição, o deslocamento de qualquer partícula da corda
em um dado instante é a soma vetorial dos deslocamentos que seriam produzidos
pelas ondas individualmente. Assim,podemos escrever, para a onda resultante:
y( x, t ) = y I ( x, t ) + y R ( x, t )

ou seja:
y( x, t ) = A sen (kx + ωt ) + A ' sen (kx − ωt )
A partícula da corda em x = 0 permanece em repouso no referencial
considerado, de modo que y(0,t) = 0 para qualquer t. Assim:
0 = A sen (ωt ) + A ' sen ( −ωt )
e como, da Trigonometria, sabemos que:
sen ( −ωt ) = − sen (ωt )
segue-se imediatamenteque:
0 = ( A − A ' ) sen ( ωt )

Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria

e daí, A = A’. Em palavras: a onda incidente e a onda refletida têm amplitudes iguais.
Além disso, pela relação trigonométrica:
 A −B
 A +B
sen A − sen B = 2 sen 
 cos 

2
2
vem:

y( x, t ) = 2A sen (kx ) cos (ωt )

As fases (kx + ωt) e (kx − ωt) não aparecem nestaexpressão. Por isso, ela não
descreve uma onda progressiva, mas uma onda estacionária. O fator:
cos (ωt )
indica que todas as partículas da corda descrevem movimentos harmônicos simples
com a mesma freqüência f = ω/2π e o fator:
2A sen (kx )
indica que a amplitude do MHS de cada partícula depende da sua posição ao longo do
eixo X.
Por outro lado, a amplitude da onda estacionária é nula para:kx = nπ

(n = 0, 1, 2, ... ∞)

e como k = 2π/λ, podemos dizer que a amplitude da onda estacionária é nula em:

λ
x = n
2

(n = 0, 1, 2, ... ∞)

Os pontos dados por essa expressão são chamados de nós. Dois nós
consecutivos estão separados por uma distância λ/2. O comprimento de onda λ é
dado, em função da freqüência e do módulo da velocidade de propagação, pela
expressão λ =v/f.
Vamos considerar, agora, que a corda tem um comprimento L e que suas
extremidades estão fixas, uma em x = 0 e a outra em x = L. Assim, temos a condição
adicional y(L,t) =0 para qualquer t. Portanto, da expressão que descreve a onda
estacionária, vem:
0 = 2 A sen (kL ) cos (ωt )
ou:

sen (kL ) = 0
Esta última expressão é verdadeira para:
kL = n' π

(n’ = 1, 2, ... ∞)

e como k =2π/λ, temos:

Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria

λ=

2L
n'

(n’ = 1, 2, ... ∞)

Essa expressão dá os comprimentos de onda das ondas estacionárias que
podem ser estabelecidas numa corda de comprimento L com suas extremidades fixas.

As freqüências e as posições dos nós correspondentes são dadas por:

v
f =   n'
 2L 
e

n
x =  L
 n' 
ecomo x ≤ L, devemos ter n = 0, 1, 2, ... n’.
Desse modo, para n’ = 1 temos n = 0 e n = 1. A onda estacionária
correspondente tem dois nós, nas posições x = 0 e x = L (Fig.19(a)).
Para n’ = 2 temos n = 0, n = 1 e n = 2. A onda estacionária correspondente tem
três nós, nas posições x = 0, x = L/2 e x = L (Fig.19(b)).
Para n’ = 3 temos n = 0, n = 1, n = 2 e n = 3. A onda estacionáriacorrespondente tem quatro nós, nas posições x = 0, x = L/3, x = 2L/3 e x = L
(Fig.19(c)). E assim por diante.
Em uma onda harmônica progressiva, todas as partículas do meio executam
movimentos harmônicos simples com a mesma amplitude. Em uma onda estacionária,
as partículas do meio também executam movimentos harmônicos simples, mas as
amplitudes dependem das posições das partículas. As partículas...
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