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XXXIV Olimpíada Brasileira de Matemática
GABARITO Segunda Fase

Soluções Nível 3 – Segunda Fase – Parte A

CRITÉRIO DE CORREÇÃO: PARTE A

Na parte A serão atribuídos 4 pontos para cada resposta correta e a pontuação máxima para essa parte será 20. NENHUM PONTO deverá ser atribuído para respostas que não coincidirem com o gabarito oficial, abaixo:

Problema
01
02
03
04
05
Resposta
1003
0546
0012
1301
9780

01. [Resposta: 1003]
Solução: Suponha que as dicas 1 e 3 sejam ambas verdadeiras. Então número é cubo perfeito e múltiplo de 59. Mas 59 é primo, de modo que é múltiplo de 593 > 10000, o que não é possível. Assim, a dica 2 está correta.

Utilizaremos o fato de que um número cuja fatoração em primos é tem (a1 + 1)(a2 + 1)…(ak + 1) divisores positivos. Um número tem quatro divisores positivos se, e somente se, é da forma pq ou p3, p,q primos. Note que 1000 = 23·53 tem 4·4 = 16 divisores positivos; 1001 = 7·11·13 tem 2·2·2 = 8 divisores positivos; 1002 = 2·3·167 tem 8 divisores positivos; 1003 = 17·59 tem 2·2 = 4 divisores positivos. Assim, o número pensado por Arnaldo é 1003.

02. [Resposta: 0546]
Solução: Temos abc(a + b + c) = 1001c = 2002a = 3003b, de modo que c = 2a = 3b. Assim, a = c/2 e b = c/3, de modo que ab(a + b + c) = 1001  ab(c/2 + c/3 + c) = 1001  abc = 546.

03. [Resposta: 0012]
Solução: Veja que B'M = MF = . Se N denota o ponto médio do lado DC, ainda temos NF = 1. Daí, CD = DN + NF + FM + MC' = 2·(NF + FM + MC') = 2·(1 + + 1) = 4 + 2 = 4 + , e a = 4 e b = 8.

04. [Resposta: 1301]
Solução: Primeiro note que se n é ímpar então n2 + 5 é par e maior do que 2, ou seja, não é primo. Logo n é par. Além disso, se n = 3k 1, n2 + 5 = 9k2  6k + 6 é múltiplo de 3 e maior do que 3, ou seja, não é primo. Logo n é múltiplo de 3, e portanto é múltiplo de 6. Assim, os próximos candidatos a primo são 182 + 5 = 182 – 32 +14 = (18 – 3)(18 + 3) + 14 = 15·21 + 14 e 242 + 5 = 242 – 32 + 14 = (24 – 3)(24 + 3) + 14 = 21·27 + 14,