Numeros neperianos

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30

3.

3.1.

LOGARITMO.

SISTEMA DE LOGARITMO

LOGARITMO
Agora que já "sabemos" o que é ax, podemos formalizar a definição de

logaritmo.
Definição
Sejam a e b números reais positivos, com a ≠ 1. Chama-se logaritmo de b na base a,
o expoente x que satisfaz a equação ax = b.

log a b = x ⇔ a x = b
x é o logaritmo
a é a base
b é o logaritmando

As restrições impostas à basea e ao logaritmando b decorrem das seguintes
Observações
1) a ∈ R * , para que a x tenha significado ∀x ∈ R.
+
2) a ≠ 1, pois, caso contrário, log a b só teria significado para b = 1.
3) b ∈ R * pois, como a > 0, temos que ax > 0.
+

Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.

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Proposição 3.1.
Se a, b ∈ R * , a ≠ 1, existe um úniconúmero real x tal que x = log a b .
+
D] Segue imediatamente da Propriedade P9), considerando que
log a b = x ⇔ a x = b

Exemplo
Calcule log 0,25 32
Solução:
x

 1
− 2x
5
= 25 ⇔
log0,25 32 = x ⇔ (0,25) = 32 ⇔ (0,25) = 2 ⇔   = 2 ⇔ 2
 4
x

x

5

5
5
− 2x = 5 ⇔ x = − ∴ log 0,25 32 = −
2
2
Como consequências imediatas da definição de logaritmo temos que se a, b c ∈ R * ,
+a ≠ 1 e α ∈ R, então:
1) loga 1 = 0
D] log a 1 = x ⇔ a x = a 0 ⇔ x = 0 .

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2) loga a = 1

D] log a a = x ⇔ a x = a 1 ⇔ x = 1
3) loga a α = α
D] log a a α = x ⇔ a x = a α ⇔ x = α

b

4) a loga = b

D] log a b = x ⇔ a x = b
5) loga b = loga c ⇒ b = c

D] log a b = x ⇔ a x = b

( III )x
log a c = x ⇔ a = c

( IV )

De ( III ) e ( IV ) concluímos que b = c.
Sejam a, b, c, ∈ R * , a ≠ 1 e α e β ∈ R, β ≠ 0 . Temos as seguintes
+
propriedades
P1 ) log (bc) = log b + log c
a
a
a
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D] Consideremos que
x
log a (bc) = x ⇔ a = bc
y
log a b = y ⇔ a = b
z
log a c = z ⇔ a =c

Então,
a x = bc = a y a z = a y + z ⇒ a x = a y + z ⇒ x = y + z

b
P2 ) log   = log b − log c

a c
a
a

Consideremos,
b′
 b
x
log a   = x ⇔ a =
 c
c
y
log a b = y ⇔ a = b
z
log a c = z ⇔ a = c

Então,
ax =

b ay
= z = a y− z ⇒ a x = a y− z ⇒ x = y − z
ca

Temos o seguinte caso particular:
 1
loga   = − loga b
 b

 1
D] log a   = log a 1− log a b = − log a b
 b

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P3 ) log bα = α log b
a
a

D] Consideremos,
x
α
α
log a b = x ⇔ a = b e
y
log a b = y ⇔ a = b

Então,

()

a x = bα = a y

α

= a yα ⇒ a x = a yα ⇒ x = yα .

Caso particular:
n
loga b =

n

D] log a b = log a

P4 ) log

1
bn

=

1log b
na

1
log a b
n

b = 1 log b
a
a
β
β

D] Consideremos,

()

β
log a β (b) = x ⇔ a

x

= b ⇔ a βx = b

e

y
log a b = y ⇔ a = b

Então,
a βx = b = a y ⇒ β x = y ⇒ x =

1
y
β

Casos particulares:
i) loga − 1 (b) = − loga b
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ii) logn a b = n loga b

D]
1
i) loga − 1 (b) = − log a b= − log a b
1
ii) log n a b = log a 1/ n (b) =

1
log a b = n log a b
1/ n

Exemplo
 a 2 bc 
 , supondo que a,
Aplicando as propriedades de logaritmos, desenvolva log 3 
5
3
 (a + b) 
b e c são números reais positivos.
Solução:
 a 2 bc 
 = log a 2 bc − log 5 (a + b) 3 = log a 2 + log bc − log (a + b) 3/5 =
log 3 
3
3
3
3
3
5

 (a + b)3 

(

)

1
3
= 2 log 3 a + log 3 (bc) − log 3 (a + b) =
2
5
= 2 log 3 a +

3.2.

1
1
3
log 3 b + log 3 c − log 3 (a + b )
2
2
5

SISTEMAS DE LOGARITMOS DE BASE a.

MUDANÇA DE BASE.

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Chamamos

de

sistema de logaritmos de base a, o conjunto de todos os

logaritmos...
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