Numeros complexos

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Número complexo
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo dia 10/08/2010

Em matemática, os números complexos são
os elementos do conjunto , uma extensão do
conjunto dos números reais , onde existe um
elemento que representa a raiz quadrada de
número -1, a assim chamada unidade
imaginária.
Cada número complexo z pode ser
representado naforma:

onde e são números reais conhecidos como
parte real e parte imaginária de z e denota a
unidade imaginária:

Conjuntos de números
Naturais
Inteiros
Racionais
Reais
Imaginários
Complexos
Números hiper-reais
Números hipercomplexos
Quaterniões
Octoniões
Sedeniões
Complexos hiperbólicos
Quaterniões hiperbólicos
Bicomplexos
Biquaterniões
Coquaterniões
Tessarines

Oconjunto dos números complexos constitui
uma estrutura algébrica denominada corpo.
Este corpo é algebricamente fechado. Os
complexos possuem também um módulo que, usado como norma, conduz a um espaço
normado topologicamente completo.
Os números complexos encontram aplicação em numerosos problemas da matemática,
física e engenharia, sobretudo da solução de equações algébricas e equaçõesdiferenciais
Em engenharia e física, é comum a troca da letra pela letra , devido ao freqüente uso
da primeira como indicação de corrente elétrica.

Índice










1 Definições
o 1.1 Plano complexo
o 1.2 Operações Elementares
o 1.3 O módulo
2 Propriedades algébricas
o 2.1 Radical algébrico
3 Propriedades topológicas e analíticas
o 3.1 Convergência nos complexos
4 O conjuntodos números complexos como extensão algébrica
o 4.1 Logaritmos
4.1.1 Função logarítmica natural
4.1.2 Função logarítmica decimal
5 Gráficos de Funções Complexas
6 Ver também
7 Ligações externas

Definições
Plano complexo

No plano de Argand-Gauss, parte real é representada pela abscissa e a parte imaginária
pela ordenadas.
O plano complexo, também chamado de plano de Argand-Gauss éuma representação
geométrica do conjunto dos números complexos. Da mesma forma como a cada ponto
da reta real está associado um número real, o plano complexo associa biunivocamente o

ponto
do plano ao número complexo
. Esta associação conduz a pelo
menos duas formas de representar um número complexo:


Forma retangular ou cartesiana: representa o número Z em coordenadas
cartesianas•

, separando a parte real da parte imaginária.

Forma polar:
ponto

onde r é a distância euclidiana do
até a origem do sistema de coordenadas, chamada de módulo

do número complexo e denotada
. Enquanto é o ângulo
entre a semi-reta
e o semi-eixo real, chamado de argumento do número
complexo Z e denotado por

.
, a forma polar é equivalente à chamada

Através da identidade
formaexponencial:

Operações Elementares
O conjunto dos números complexos é um corpo. Portanto, é fechado sobre as operações
de adição e multiplicação, além de possuir a propriedade de que todo elemento não-nulo
do conjunto possui um inverso multiplicativo. Todas as operações do corpo podem ser
performadas através das propriedades associativa, comutativa e distribuitiva, levando
em consideraçãoa identidade
Sejam z e w dois números complexos dados por
e
definem-se as relações e operações elementares tal como segue:


então

Identidade:
se e somente se



Produto:



.

Soma:



e

Conjugado:
, onde denota o conjugado de z. Outra notação usada para o
*
conjugado de z é z .



Produto de um Complexo por seu Conjugado:

Como i

2

= − 1, temosque o produto de um Número Complexo a +
seu Conjugado a − bi se dá por:
.


Módulo:



Inverso multiplicativo (para

.
bi pelo

):

As operações de subtração e divisão são efetuadas transformando em adição com o
oposto aditivo e em multiplicação com o inverso multiplicativo, respectivamente.
Algumas operações são mais facilmente realizadas na forma polar:
.


Produto:...
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