noções matemática

Polos Olímpicos de Treinamento
Curso de Teoria dos Números - Nível 2

Aula

1

Samuel Barbosa Feitosa

Divisibilidade I
Teorema 1. (Algoritmo da Divis˜ ao) Para quaisquer inteiros positivos a e b, existe um u
´nico
par (q, r) de inteiros n˜ ao negativos tais que b = aq + r e r < a. Os n´ umeros q e r s˜ ao chamados de quociente e resto, respectivamente, da divis˜ ao de b por a.
Exemplo 2. Encontre um n´ umero natural N que, ao ser dividido por 10, deixa resto 9, ao ser dividido por 9 deixa resto 8, e ao ser dividido por 8 deixa resto 7.
O que acontece ao somarmos 1 ao nosso n´ umero? Ele passa a deixar resto 0 na divis˜ao por
10, 9 e 8. Assim, um poss´ıvel valor para N ´e 10 · 9 · 8 − 1.
Exemplo 3. a) Verifique que an − 1 = (a − 1)(an−1 + an−2 + . . . + a + 1)
b) Calcule o resto da divis˜ ao de 42012 por 3.
Para o item a), usando a distributividade e efetuando os devidos cancelamentos no lado direito, podemos escrever: an + an−1 + . . . + a2 + a − an−1 − an−2 − . . . − a − 1 = an − 1.
Para o item b), veja que 3 = 4−1 e assim ´e natural substituir os valores dados na express˜ ao do primeiro item:
42012 − 1 = 3(42011 + . . . + 4 + 1).
Isso significa que q = (42011 + . . . + 4 + 1) e que r = 1.
Observa¸c˜
ao 4. O teorema anterior admite um enunciado mais geral: Para quaisquer inteiros a e b, com a = 0, existe um u
´nico par de inteiros (q, r) tais que b = aq + r, 0 ≤ r < |a|.
Por exemplo, o resto da divis˜ ao de −7 por −3 ´e 2 e o quociente ´e 3.
Iremos agora estudar propriedades a respeito das opera¸c˜oes com restos.
Teorema 5. (Teorema dos Restos) Se b1 e b2 deixam restos r1 e r2 na divis˜ ao por a,respectivamente, ent˜ ao:

POT 2012 - Teoria dos N´ umeros - N´ıvel 2 - Aula 1 - Samuel Feitosa

b1 + b2 deixa o mesmo resto que r1 + r2 na divis˜ ao por a b1 b2 deixa o mesmo resto que r1 r2 na divis˜ ao por a.
Demonstra¸ca
˜o. Por hip´ otese, existem q1 , q2 e q tais que: b1 = aq1 + r1 , b2 = aq2 + r2 e r1 + r2 =