NotasSuperf Cies

Superf´ıcies e Curvas no Espa¸co
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matem´atica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi [e-mail]
11 de dezembro de 2001

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Qu´ adricas Nesta se¸ca˜o estudaremos as superf´ıcies que podem ser representadas pelas equa¸co
˜es quadr´ aticas nas vari´aveis x, y e z, ou seja, da forma ax2 + by 2 + cz 2 + dxy + exz + f yz + gx + hy + iz + j = 0, em que a, b, c, d, e, f, g, h, i, j ∈ R, com a, b, c, d, e, f n˜ao simultaneamente nulos. Vamos nos limitar neste cap´ıtulo ao estudo de casos especiais da equa¸ca˜o acima.

1.1

Elips´ oide z

z

x

Figura 1: Elips´oide de equa¸ca˜o
1

y

x2 a2 2

x

2

+ yb2 + zc2 =

y

Figura 2: Elips´oide e interse¸co˜es com os planos z = k

Um elips´ oide ´e um conjunto de pontos que em algum sistema de coordenadas satisfaz a equa¸ca˜o 1

x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1, a2 b c em que a, b e c s˜ao n´ umeros reais positivos.

(1)

z

z

x

y

x

Figura 3: Elips´oide e interse¸co˜es com os planos y = k

y

Figura 4: Elips´oide e interse¸co˜es com os planos x = k

Observe que se (x, y, z) satisfaz (1), ent˜ao (x, y, −z) tamb´em satisfaz, por isso dizemos que o elips´oide (1) ´e sim´etrico em rela¸ca˜o ao plano xy. Tamb´em (x, −y, z) satisfaz (1), por isso dizemos que o elips´oide (1) ´e sim´etrico em rela¸ca˜o ao plano xz. O mesmo acontece com
(−x, y, z), por isso dizemos que o elips´oide (1) ´e sim´etrico em rela¸ca˜o ao plano yz. Se (x, y, z) satisfaz (1), ent˜ao (−x, −y, z) tamb´em satisfaz, por isso dizemos que o elips´oide (1) ´e sim´etrico em rela¸ca˜o ao eixo z. O mesmo acontece com (−x, y, −z), por isso dizemos que o elips´oide
(1) ´e sim´etrico em rela¸ca˜o ao eixo y. O mesmo acontece com (x, −y, −z), por isso dizemos que o elips´oide (1) ´e sim´etrico em rela¸ca˜o ao eixo x. Finalmente se (x, y, z) satisfaz (1), ent˜ao
(−x, −y, −z) tamb´em satisfaz, por isso dizemos que o elips´oide (1) ´e sim´etrico em rela¸ca˜o a` origem. Se |k| < c, o plano z = k intercepta o