Notas algebra lineal

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CURSO DE

Álgebra Linear Aplicada




Sumário
1 Equações lineares 1.1 Equação algébrica linear . . . . . . . . . 1.2 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Sistemas de equações algébricas lineares 1.4 Sistema escalonado . . . . . . . . . . . . 1.5 Sistema inferiormente escalonado . . . . 1.6 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . 1.7 O método da eliminação de Gauss . . . .1.8 Matrizes inversas . . . . . . . . . . . . . 1.9 Matrizes elementares . . . . . . . . . . . 1.10 Cálculo da inversa . . . . . . . . . . . . 1.11 Fatoração LU . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 Decomposição PLU . . . . . . . . . . . . 1.13 Decomposição de Cholesky . . . . . . . . 2 Espaço vetorial 2.1 Conceito de espaço vetorial . 2.2 Dependência linear . . . . . 2.3 Base e dimensão . . . . . .. 2.4 Matriz de mudança de base 2.5 Subespaço vetorial . . . . . 2.6 Subespaço gerado . . . . . . 1 1 3 4 6 9 10 11 13 15 17 19 26 30 33 33 35 37 40 43 44

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3 Transformação linear 49 3.1 Matriz de uma transformação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 54 3.2 Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3 Transformações lineares em Cm×1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4 Produto interno e norma 4.1 Produto interno em espaços vetoriais reais . . . 4.2 Produto interno em espaços vetoriais complexos 4.3 Funcional linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Norma . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . i 61 61 62 65 66

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ii

Notas de aula do Prof. Antonio Cândido Faleiros 4.5 Ortogonalização de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.6 Decomposição QR . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 70

5 Soma de subespaços 77 5.1 Soma direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.2 Complemento ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6 Transformação adjunta 81 6.1 Posto de uma transformação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.2 Existência de solução dos sistemas lineares . .. . . . . . . . . . . . . . . . 87 7 Projetores 7.1 Projetores ortogonais . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Projetores ortogonais em Cm×1 . . . . . . . . 7.3 Ortogonalização de Gram-Schmidt em Cm×1 . 7.4 Ortogonalização modificada de Gram-Schmidt 7.5 Contagem das operações . . . . . . . . . . . . 8 Refletor de Householder 8.1 Decomposição QR usando o refletor 8.2 O algoritmo para calcular R . . . . 8.3Contagem das operações . . . . . . 8.4 O algoritmo para calcular Q∗ . . . 8.5 O algoritmo para calcular Q . . . . 89 89 92 94 95 96 99 101 103 104 104 105

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de Householder . . . . . . . ....
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