Noções de variáveis complexas

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 11 (2718 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 16 de setembro de 2012
Ler documento completo
Amostra do texto
Noções de Variáveis complexas

1.Números Complexos
São números da forma [pic] sendo [pic]a unidade imaginária .
[pic]( parte real do complexo)
[pic] (parte imaginária do complexo)

Os números complexos ficam determinados pelas seguintes regras:
[pic]; [pic] ; [pic];
[pic]; [pic]

Os reais como subcorpo dos complexos
[pic] corresponde ao real [pic], então a soma [pic]corresponderá a [pic] e o produto [pic]corresponde a [pic].
Somar e multiplicar números reais equivale, pela correspondência [pic], a somar e multiplicar números complexos correspondentes, o que permite identificar o número real como um número complexo. Deste modo os números complexos são uma extensão natural dos números reais.

O plano complexo










Podemos representar um númerocomplexo [pic]por um ponto do plano ou com o vetor [pic] de componentes [pic]e [pic]

Módulo de um número complexo
A distância entre os pontos inicial e final do segmento orientado que representa o vetor [pic] é chamada de módulo do complexo [pic] e denotada por [pic] .










Pelo teorema de Pitágoras obtemos que o módulo do complexo [pic], é dado por:
[pic]

Propriedades domódulo:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Conjugado de um complexo O Conjugado do complexo [pic] é o complexo [pic]

[pic]
[pic]
Dados dois números complexos [pic] e [pic] com [pic], [pic]
[pic] [pic]

Representação polar ou forma trigonométrica de um complexo










[pic]: argumento de [pic]
[pic]
Sentido positivo: sentido anti-horário
Como [pic] [pic]
[pic]Exemplo: Escrever na forma polar os complexos:
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]

Pode-se operar com os complexos na forma polar:
Sendo [pic] e [pic],
[pic]
[pic]

Fórmula de De Moivre:

[pic]


Exemplo:
Reduzir os complexos [pic] e [pic] à forma polar e determinar as formas polares de [pic] e [pic].

Raízes n-ésimas
Diz-se que um complexo [pic]é a raiz n-ésima de um complexo a se[pic]
Sendo [pic] e [pic] então [pic][pic].
Como a igualdade de números complexos requer a igualdade das partes real e imaginária, devemos ter:
[pic] e [pic] o que implica
[pic] e [pic], [pic]inteiro

Assim:
[pic]. Esta fórmula produz n raízes distintas, quando a k se atribuem os valores k=0,1,2,...n-1.

Exemplo 1 : Determinar a raiz n-ésima da unidade:

Se a=1, o ângulo[pic] assume o valor 0 e
[pic]

Exemplo2: Determinar [pic]
Sendo[pic], isto é, [pic]
[pic]
[pic]
Exemplo3 : Determinar [pic]
[pic]
[pic]
[pic]




Exponencial:
Sabe-se que: [pic](1), [pic](2), [pic](3) então
vamos tomar (1) como base para definir
[pic] com [pic] complexo.

[pic]
[pic]
[pic] Fórmula de Euler

Então [pic]
E o complexo [pic] pode ser escrito na formaexponencial como [pic] sendo [pic]

Propriedades da Exponencial

[pic]
[pic]
[pic]
[pic] para todo [pic]
[pic]

Exemplo: Reduzir à forma [pic]cada um dos complexos abaixo:
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]

2.Funções Complexas
Seja D um conjunto de números complexos (D ( C ) e [pic]: D [pic] C a função que faz corresponder a cada elemento [pic] de D, um único número complexo quedenotamos com [pic][pic].
De modo análogo às funções reais diz-se que [pic]é uma função complexa de variável complexa (também diz-se que f é uma transformação). Sendo:


• [pic][1] ( variável independente de [pic]
• [pic] = Re [pic][pic][pic] é a parte real de [pic]
• [pic]= Im [pic][pic][pic] é a parte imaginária de [pic]
• [pic] ( variável dependente de [pic].
•[pic] = Re [pic][pic][pic] é a parte real de [pic] = [pic] ([pic])
• [pic] = Im [pic][pic][pic] é a parte imaginária de [pic] =[pic]([pic])
• D = Dom ([pic]) [pic] domínio de [pic].
• Im ([pic]) = ([pic](C / [pic] = [pic] ([pic]) com [pic](D( [pic] imagem de [pic].






Cada número complexo [pic] também pode ser apresentado como o par ordenado [pic] o que permite...
tracking img