Noções de variáveis complexas

Noções de Variáveis complexas

1.Números Complexos
São números da forma [pic] sendo [pic]a unidade imaginária .
[pic]( parte real do complexo)
[pic] (parte imaginária do complexo)

Os números complexos ficam determinados pelas seguintes regras:
[pic]; [pic] ; [pic];
[pic]; [pic]

Os reais como subcorpo dos complexos [pic] corresponde ao real [pic], então a soma [pic] corresponderá a [pic] e o produto [pic]corresponde a [pic].
Somar e multiplicar números reais equivale, pela correspondência [pic], a somar e multiplicar números complexos correspondentes, o que permite identificar o número real como um número complexo. Deste modo os números complexos são uma extensão natural dos números reais.

O plano complexo

Podemos representar um número complexo [pic]por um ponto do plano ou com o vetor [pic] de componentes [pic]e [pic]

Módulo de um número complexo
A distância entre os pontos inicial e final do segmento orientado que representa o vetor [pic] é chamada de módulo do complexo [pic] e denotada por [pic] .

Pelo teorema de Pitágoras obtemos que o módulo do complexo [pic], é dado por:
[pic]

Propriedades do módulo:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Conjugado de um complexo O Conjugado do complexo [pic] é o complexo [pic]

[pic]
[pic]
Dados dois números complexos [pic] e [pic] com [pic], [pic]
[pic] [pic]

Representação polar ou forma trigonométrica de um complexo

[pic]: argumento de [pic]
[pic]
Sentido positivo: sentido anti-horário
Como [pic] [pic]
[pic]

Exemplo: Escrever na forma polar os complexos:
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]

Pode-se operar com os complexos na forma polar:
Sendo [pic] e [pic],
[pic]
[pic]

Fórmula de De Moivre:

[pic]

Exemplo:
Reduzir os complexos [pic] e [pic] à forma polar e determinar as formas polares de [pic] e [pic].

Raízes n-ésimas
Diz-se que um complexo [pic]é a raiz n-ésima de um complexo a se