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Disciplina: Introdução ao Cálculo

Prof. Rogério Dias Dalla Riva

Lista de Exercícios - Função Inversa
1) O gráfico de uma função f é o segmento de reta que une os pontos ( −3, 4) e (3, 0) . Se f −1 é a função inversa de f , determine f −1(2) .
y = ax + b 4 = a( −3) + b −3a + b = 4 y = ax + b 0 = a(3) + b 3a + b = 0

−3a + b = 4   3a + b = 0 2b = 4 b=2

3a + b = 0 3a + 2 = 0 3a = −2a = −2 3

y = ax + b ⇒ y = −
2 x+2 3 2 x =− y +2 3 3 x = −2y + 6 y =− 2y = 6 − 3 x 6 − 3x y= 2 6 − 3x f −1 ( x ) = 2 6 − 3(2) f −1(2) = 2 −1 f (2) = 0

2 x+2 3

2) Seja a função f de ℝ − em ℝ + , definida por f ( x ) = x 2 . Qual é a função inversa de f ? A função dada é f ( x ) = y = x 2 com x ≤ 0 e y ≥ 0 . Aplicando a regra prática, temos: I) permutando as variáveis:
x = y 2 com y ≤ 0 ex ≥ 0

II) expressando y em função de x

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x = y2



y= x

ou y = − x

Considerando que na função inversa f −1 devemos ter y ≤ 0 e
x ≥ 0 , a lei de correspondência da função inversa será f −1( x ) = − x .

Resposta: É a função f −1 de ℝ + em ℝ − definida por f −1( x ) = − x . 3) Seja a funçãobijetora f , de ℝ − {2} em ℝ − {1} definida por f ( x ) = Qual é a função inversa de f ? A função dada é f ( x ) = y =
x +1 com x ≠ 2 e y ≠ 1 . x −2 x +1 . x −2

Aplicando a regra prática, temos: I) permutando as variáveis:
x= y +1 com x ≠ 1 e y ≠ 2 y −2

II) expressando y em função de x
y +1 2x + 1 ⇒ xy − 2 x = y + 1 ⇒ xy − y = 2 x + 1 ⇒ y ( x − 1) = 2 x + 1 ⇒ y = y −2 x −1 2x + 1 f −1 ( x ) =x −1 x=

Resposta: É a função
f −1( x ) = 2x + 1 . x −1

f −1

de

ℝ − {1}

em

ℝ − {2}

definida por

4) Obtenha a função inversa da função f , de ℝ − {3} em ℝ − {−1} definida por f ( x ) =
4−x . x −3 4−x com x ≠ 3 e y ≠ −1 . x −3

A função dada é f ( x ) = y =

Aplicando a regra prática, temos: I) permutando as variáveis:
x= 4−y com x ≠ −1 e y ≠ 3 y −3

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II) expressando y em função de x
4−y 3x + 4 ⇒ xy − 3 x = 4 − y ⇒ xy + y = 3 x + 4 ⇒ y ( x + 1) = 3 x + 4 ⇒ y = y −3 x +1 3x + 4 f −1 ( x ) = x +1 x=

Resposta: É a função f −1 de ℝ − {−1} em ℝ − {3} definida por
f −1( x ) = 3x + 4 . x +1 4x − 3 . Qual x+2

5) Seja a função f de ℝ − {−2} em ℝ − {4} definida por f ( x ) =é o valor do domínio de f −1 com imagem 5 ?

Queremos determinar a ∈ ℝ − {4} tal que f −1(a ) = 5 ; para isso, basta determinar a tal que f (5) = a .
a = f (5) = 4(5) − 3 17 = 5+2 7



a=

17 7

6) Seja a função f de A = {x ∈ ℝ / x ≤ −1} em B = {y ∈ ℝ / y ≥ 1} definida por
f ( x ) = x 2 + 2 x + 2 . Qual é o valor do domínio de f −1 com imagem −3 ?

Resolução 1: A função dada é f ( x) = y = x 2 + 2 x + 2 com x ≤ −1 e y ≥ 1 . Aplicando a regra prática, temos: I) permutando as variáveis:
x = y 2 + 2y + 2 com x ≥ 1 e y ≤ −1

II) expressando y em função de x
x = y 2 + 2y + 2 ⇒ ( x ) =
2

(

y 2 + 2y + 2

)

2

⇒ x 2 = y 2 + 2y + 2

y 2 + 2y + 1 + 1 = x 2 ⇒ ( y + 1)2 + 1 = x 2 ⇒ ( y + 1)2 = x 2 − 1 y + 1 = ± x 2 − 1 ⇒ y = −1 ± x 2 − 1

Como y ≤ −1 ⇒ y = −1 − x 2− 1 Portanto f −1( x ) = −1 − x 2 − 1
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−3 = −1 − x 2 − 1 x 2 − 1 = −1 + 3 x2 − 1 = 2 x2 − 1

(

)

2

= ( 2)

2

x2 − 1 = 4 x2 = 5 x=± 5

Como x ≥ 1 ⇒ x = 5 Resolução 2: Queremos determinar a ∈ B = {x ∈ ℝ / x ≥ 1} tal que f −1(a ) = −3 ; para isso, basta determinar a tal que f ( −3) = a .
a = f( −3) = ( −3)2 + 2 ⋅ ( −3) + 2



a=± 5

Como x ≥ 1 ⇒ a = 5 7) Sejam os conjuntos A = {x ∈ ℝ / x ≥ 1} e B = {y ∈ ℝ / y ≥ 2} e a função f de
A em B definida por f ( x ) = x 2 − 2 x + 3 . Obtenha a função inversa de f .

A função dada é f ( x ) = y = x 2 − 2 x + 3 com x ≥ 1 e y ≥ 2 . Aplicando a regra prática, temos: I) permutando as variáveis:
x = y 2 − 2y + 3 com x ≥ 2 e y ≥ 1

II)...
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