nada

FUVEST

M.01 π Sejam x e y dois números reais, com 0 < x < –– e
2
4 π –– < y < π, satisfazendo sen y = –– e
5
2
11 sen x + 5 cos(y – x) = 3.
Nessas condições, determine
a) cos y.
b) sen 2x.
Resolução

4 π π
Sendo 0 < x < –– , –– < y < π e sen y = –– , temos:
5
2 2
2
4
9
a) cos2y = 1 – sen2y = 1 – –– = ––– ⇒
5
25

΂ ΃

3
⇒ cos y = – –– , pois y ∈ 2o. quadrante
5
b) 11 . sen x + 5 . cos (y – x) = 3 ⇔
⇔ 11 . sen x + 5 . (cos y . cos x + sen y . sen x) = 3 ⇔
⇔ 11 . sen x + 5 .

΄ ΂ – ––5 ΃ . cos x + ΂ ––5 ΃ . sen x ΅ = 3 ⇔
3

4

⇔ cos x = 5 . sen x – 1
Então:
cos2x + sen2x = 1 ⇒ (5 . sen x – 1)2 + sen2x = 1 ⇔
⇔ 13 . sen2x – 5 . sen x = 0 ⇔
5
⇔ sen x = ––– (pois sen x ≠ 0)
13
12
5
e cos x = 5 . ––– – 1 = –––
13
13
Portanto:
120
12
5 sen(2x) = 2 . sen x . cos x = 2 . ––– . ––– = ––––
169
13 13
3
Respostas: a) – –––
5

120
b) ––––
169

FUVEST (2ª Fase) – JANEIRO/2010

M.02
No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxy da figura, estão representados a circunferência de centro na

͙ළළ
8
origem e raio 3, bem como o gráfico da função y = ––––
͉x͉
y

B

C

D

A
0

x

Nessas condições, determine
a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção da circunferência com o gráfico da função.
b) a área do pentágono OABCD.
Resolução
y

a)

B (1; 2

(-1; 2 2 ) C

2)

A (2

(-2 2 ;1) D

2 ;1) x 0

As coordenadas dos pontos A, B, C e D são as soluções do sistema:

Ά

͙ළළ
8

y = ––––
͉x͉
x2 + y2 = 9

⇔

Ά

͙ළළ
8
y = ––––
͉x͉

΂ ΃

(I)

͙ළළ
8

x2 + ––––
͉x͉

2

=9

(II)

8
Da segunda equação, temos x2 + ––– = 9 ⇔ x2 2
⇔ x4 – 9x2 + 8 = 0 ⇔ x = ± 1 ou x = ± 2͙ළළ
Satisfazendo a equação I, temos:
FUVEST (2ª Fase) – JANEIRO/2010

͙ළළ
8
͙ළළ
8
2 ou y = –––––––– = 1 y = –––––– = 2͙ළළ
͉± 1͉
͉± 2͙ළළ
2͉
2; 1), B(1; 2͙ළළ
2),
Desta forma, os pontos são A(2͙ළළ
2) e D(– 2͙ළළ
2; 1)
C(– 1; 2͙ළළ
b)
B (1; 2

2

(-1;