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Dep. Matem´ atica FCUP
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ALGEBRA
LINEAR e
GEOMETRIA ANAL´ITICA
Resumo das aulas te´ oricas e pr´ aticas 1.o ano da licenciatura em Matem´ atica, F´ısica
Astronomia
Ano lectivo de 2010/2011

Jo˜ ao Nuno Tavares
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´INDICE:

1 Um curso r´ apido de ALGA apenas em R2
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1.1 Algebra
Linear em R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2

Aplica¸c˜oes `a geometria

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
3
23

´
2 Algebra
Linear e Geometria Anal´ıtica em R3
27
3
´
2.1 Algebra Linear em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Espa¸ cos vectoriais

57

3.1

Espa¸cos vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.2

Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.3

Subespa¸cos vectoriais

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.4

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

4 ALGA I. Aplica¸ c˜ oes lineares. Isomorfismos lineares
4.1
4.2

70

Aplica¸c˜oes lineares. Isomorfismos lineares. Operadores lineares.
Funcionais lineares. O espa¸co dual V ∗ . . . . . . . . . . . . . . .

70

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

5 ALGA I. Bases, coordenadas e dimens˜ ao 74

5.1

Bases, coordenadas e dimens˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

5.2

C´alculos com coordenadas. Problemas . . . . . . . . . . . . . . .

82

5.3

Mudan¸cas de base e de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . .

85

5.4

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

6 ALGA I. Representa¸