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Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer
Capitulo 9 – Algumas Variáveis Aleatórias Contínuas Importantes.

Problemas
1. Suponha que X tenha distribuição N2, 0,16. Empregando a tábua da distribuição normal, calcule as seguintes probabilidades:
a. PX≥2,3.
PX≥2,3=PY>2,3-20,16=Φ-0,75=0,2266
b. P1,8≤X≤2,1.P1,8≤X≤2,1=P1,8-20,16≤Y≤2,1-20,16=Φ0,25+Φ-0,5=0,2902
2. O diâmetro de um cabo elétrico é normalmente distribuído com média 0,8 e variância 0,0004. Qual é a probabilidade de que o diâmetro ultrapasse 0,81?
PX>0,81=PY>0,81-0,80,0004=Φ-0,5=0,3085
3. Suponha que o cabo, no Probl. 9.2, seja considerando defeituoso se o diâmetro diferir de sua média em mais de 0,025. Qual é a probabilidade de se encontrar um cabo defeituoso?PX-0,8>0,025=PX-0,8>0,025+PX-0,8<-0,025=PX>0,825+PX<0,775=PY>0,825-0,80,0004+PY<0,775-0,80,0004=Φ-1,25+Φ-1,25=0,2112
4. Sabe-se que os erros, em certo dispositivo para medir comprimentos, são normalmente distribuídos com valor esperado zero e desvio-padrão 1 unidade. Qual é a probabilidade de que o erro na medida seja maior do que 1 unidade? 2 unidade? 3 unidades?
PX>1=Φ-1=0,1587PX>2=Φ-2=0,0228
PX>3=Φ-3=0,0013
5. Suponha-se que a duração da vida de dois dispositivos eletrônicos, D1 e D2, tenham distribuições N40, 36 e N45, 9, respectivamente. Se o dispositivo eletrônico tiver de ser usado por um período de 45 horas, qual dos dispositivos deve ser preferido? Se tiver de ser usado por um período de 48 horas, qual deles deve ser preferido?
PD1≥45=PY≥56=Φ-0,833=0,2033PD2≥45=PY≥0=Φ0=0,5
PD1≥48=PY≥43=Φ-1,333=0,0918
PD2≥48=PY≥1=Φ-1=0,1587
O dispositivo D2 é preferível nos dois casos.
6. Podemos estar interessados apenas na magnitude de X, digamos Y=X. Se X tiver distribuição N0, 1, determine a fdp de Y, e calcule EY e VY.
y=x, x∈R→y≥0
dydx=1, fx=12πe-12x2
gy=12πe-12y2, &x≥0, y≥012πe-12-y2, &x<0, y>0=212πe-12y2=2πe-12y2, y≥0EY=2π0+∞ye-12y2=2π, EY2=2π0+∞y2e-12y2=1
VY=1-2π
EY=EX=-∞+∞xfx=-12π-∞0xe-12x2+12π0+∞xe-12x2=12π+12π=2π
VY=VX=EX2-E2X=12π0+∞x2e-12x2-12π-∞0x2e-12x2-2π=12+12-2π=1-2π
7. Suponha que estejamos medindo a posição de um objeto no plano. Sejam X e Y os erros de mensuração das coordenadas x e y, respectivamente. Suponha que X e Y sejam independentes e identicamente distribuídos, cada um deles com adistribuição N0, σ2. Estabeleça a distribuição de R=X2+Y2. (A distribuição de R é conhecida como distribuição de Rayleigh.) [Sugestão: Faça X=Rcosψ e Y=Rsenψ. Obtenha a fdp conjunta de R, ψ e, depois, obtenha a fdp marginal de R.]
fx, y=12πσe-12xσ212πσe-12yσ2=12πσ2e-12σ2x2+y2
X=Rcosψ, Y=Rsenψ
r=H1x, y=x2+y2, ψ=H2x, y=tan-1yx
x=G1r, ψ=rcosψ, y=G2r, ψ=rsenψ
kr, ψ=fG1r, ψ, G2r, ψJr, ψ
Jr,ψ=∂x∂r∂x∂ψ∂y∂r∂y∂ψ=cosψ-rsenψsenψrcosψ=rcos2ψ+rsen2ψ=r
kr, ψ=rfrcosψ, rsenψ=r2πσ2e-12σ2r2cos2ψ+ r2sen2ψ=r2πσ2e-r22σ2
gr=r2πσ202πr2πσ2e-r22σ2∂ψ=2πr2πσ2e-r22σ2=rσ2e-r22σ2, r≥0
8. Estabeleça a fdp da variável aleatória Q=XY, onde X e Y são distribuídos tal como no Probl. 9.7. (A distribuição de Q é conhecido como distribuição de Cauchy.) Você pode calcular EQ?
gx=12πσe-12xσ2, hy=12πσe-12yσ2
q=xy, v=y, x=vqpq=-∞+∞gvqhvv∂v=-∞+∞12πσe-12vqσ212πσe-12vσ2v∂v=12πσ2-∞+∞e-12vqσ2-12vσ2v∂v=12πσ20+∞ve-12vσ2q2+1∂v-12πσ2-∞0ve-12vσ2q2+1∂v=1πσ2σ2q2+1=1πq2+1
EQ=1π-∞+∞qq2+1=12πlnq2+1-∞+∞=∄
9. Uma distribuição, estreitamente relacionada com a distribuição normal é a distribuição lognormal. Suponha que X seja normalmente distribuído, com média μ e variância σ2. Faça-se Y=eX. Então, Y possui a distribuição lognormal. (Isto é, Yserá lognormal se, e seomente se, lnY for normal.) Estabeleça a fdp de Y. Comentário: As seguintes variáveis aleatórias podem ser representadas pela distribuição acima: o diâmetro de pequenas partículas após um processo de trituração, o tamanho de um organismo sujeito a alguns pequenos impulsos, a duração da vida de determinada peças.
fx=12πσe-12x-μσ2, x=lny,...
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