Módulo de geometria analitica

Módulo 03 – Produto Escalar e Projeções, Produtos Vetorial e Misto

MÓDULO 03 – PRODUTO ESCALAR E PROJEÇÕES, PRODUTOS VETORIAL E MISTO

1. Produto Escalar e Projeções
1.1 Definição Definição: Sejam u   x1

y1

z1 

T

e v   x2

y2

z2 

T

vetores do espaço geométrico tridimensional.
 x2  z1   y2   uT v    z2   

O produto escalar de u por v é o número real u  v  x1 x2  y1 y2  z1 z2   x1 y1

lê-se “ u escalar v ”

Observação: Na Álgebra Linear, a definição fornecida para o produto escalar é extensível a espaços n-dimensionais. De fato, sejam os vetores

u  u1 u2
Então: u  v  uT v  u1v1  u2v2 

un 

T

e v  v1

v2

vn 

T

do

n

.

 unvn . (*) valem as propriedades:

Propriedades: Para quaisquer vetores u , v e w e qualquer   a) u  v  v  u b)  u  v  u   v     u  v  c) u   v  w  u  v  u  w
2 2 2 d) u  u  x1  y1  z1  u 2

, ou seja, u  u  u

e) u  u  0  u  0 1.2 Ângulo entre Vetores Definição: O ângulo  entre os vetores não-nulos u e v , com 0     , é o ângulo formado pelos representantes dos vetores u e v construídos a partir de uma origem comum O. u O

u v



v

EFB102 – Geometria Analítica e Álgebra Linear

Módulo 03 – Produto Escalar e Projeções, Produtos Vetorial e Misto

Existe uma relação entre o produto escalar de dois vetores e o ângulo por eles formado. Para examinar esta relação, seja o espaço geométrico bidimensional unitário desse
T
2

y sen . Todo vetor na
T

espaço

pode

ser

escrito

forma – vetor

u

u  cos sen  , como mostra a figura. Nela,  é o ângulo formado entre os vetores u e i  1 0 unitário que tem a direção do eixo Ox.
O

 i 1

x

cos

Então, u  i  cos

1  sen      cos – como visto em (*). 0  y Similarmente, o produto escalar entre u e o vetor unitário

j  0 1
2

T

– com direção do eixo Oy – vale u  j  sen