Método radau aplicado a equações diferenciais algébricas

Humberto Madi Carreiro MAP 2050, diurno Professor Orientador: Nelson M. Kuhl Instituto de Matem´tica e Estat´ a ıstica Universidade de S˜o Paulo a

M´todo RADAU aplicado a Equa¸˜es e co Diferenciais Alg´bricas e

Introdu¸˜o ca
Neste trabalho ser˜o resolvidas Equa¸˜es Diferenciais Alg´bricas(EDAs) do a co e tipo: M y = f (t, y), onde M ´ uma matriz n x n e y e y ∈ Rn . e Para isso estudaremos o m´todo RADAU. A escolha deste m´todo devee e se a algumas de suas propriedades de estabilidade que o diferencia de outros m´todos (tais quais Lobatto ou RK4), como manter a ordem do m´todo quando e e aplicado a problemas stiff [Ding, 2008]. O algoritmo RADAU5 utilizado neste trabalho ´ implementado a partir do e m´todo RADAU IIA de ordem 5 (trˆs est´gios) com controle do tamanho do e e a passo. Mais detalhes e a implementa¸˜o deste algoritmo podem ser encontrados ca em http://pitagora.dm.uniba.it/ testset/solvers/radau5.php

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Cap´ ıtulo 1 Equa¸˜es Diferenciais co Alg´bricas e
As Equa¸˜es Diferenciais de primeira ordem podem ser, e frequentemente co s˜o, definidas da seguinte forma: a F (t, y(t), y (t)) = 0, (1)

Para Equa¸˜es Diferenciais Ordin´rias (EDOs) geralmente assume-se que co a (1) podem ser escritas, em sua forma expl´ ıcita ou normal, como: y (t) = f (t, y(t)) (2)

Embora (1) tenha grande importˆncia, existe um crescente interesse em a trabalhar com estes problemas diretamente na forma (2) [Brenan, 1995]. As Equa¸˜es Diferenciais Alg´ricas (EDAs) surgem naturalmente em v´rios co e a tipos de problemas, mas apresentam dificuldades anal´ ıticas e num´ricas que e n˜o s˜o encontradas em uma EDO. a a Um sistema de EDAs ´ um sistema de EDOs cuja solu¸˜o deve satisfazer e ca restri¸˜es impostas por equa¸˜es alg´bricas. Podemos escrever um sistema de co co e EDAs da seguinte forma:

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y = f (t, y) 0 = g(t, y)

(3) (4)

Este sistema pode ser convertido a um sistema de EDOs por´m, este procee dimento pode ser muito complexo. E apesar de existirem