método de bixcssãp

3.3.1.1- MÉTODO DA BISSEÇÃO

Teorema l :

Se uma função f(x) é contínua no intervalo [ a ; b ] e se f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz real de f(x) entre “a” e “b”.

Obs.: O gráfico de uma função contínua, num intervalo [ a ; b ], é aquele que pode ser traçado de “a” até “b”, sem necessidade de se retirar o lápis do papel.

O método da bisseção é fundamentado no teorema acima.

Suponhamos que r é uma raiz real de f(x) existente no intervalo [ a ; b ]. Seja xo o ponto médio desse intervalo, podemos escrever:

onde:

Como xo é o ponto que divide o intervalo [ a ; b ].em dois subintervalos [a ; xo] e [xo ; b], conclui-se que se a raiz r for diferente de xo ela estará em um dos subintervalos.

Suponhamos que r esteja em [a ; xo].
Considerando x1 como sendo o ponto médio deste subintervalo, tem-se:

onde:

Como vem:

Portanto, x1 é um valor mais próximo da raiz r do que xo, pois o erro que afeta x1 é a metade do erro que afeta xo.
Continua-se a gerar aproximações da raiz r até que um dos critérios abaixo seja satisfeito
i) xn = r ii) |f(xn|   iii) n < 
ALGORITMO DO MÉTODO DA BISSEÇÃO:

Seja f(x) uma função contínua em [a, b] e tal que f(a).f(b) < 0

1)Dados Iniciais:

a) Intervalo inicial [a, b]; b)Precisão 

2)Calcula-se f(a) e f(b).

Supondo que f(a) < 0 e f(b) > 0.

3) Calcula-se e

4) Se 1 < , r é o valor procurado e fim.

onde  é um valor prefixado

5) Se 1 > , calcula-se f(r).

6) Se f(r) = 0, r é o valor exato da raiz e fim.

7) Se f(r) < 0, substitui-se o valor de a pelo valor de r e retorna-se ao passo 3 .(pelo TEOREMA I, a raiz procurada continua dentro do novo intervalo)

8)Se f(r) > 0, substituímos o valor de b pelo valor de r e retornamos ao passo 3.(pelo TEOREMA I, a raiz procurada continua dentro do novo intervalo)

Obs.: Cada vez que o passo (7) ou o passo (8) são repetidos, o erro cometido é