Movimento retílineo

Nota de Aula 5

Derivadas Parciais

Cálculo Diferencial e Integral 3

Universidade de Uberaba ‐ UNIUBE

Abedenago Nillo da Silva Filho

1. Interpretação geométrica e algébrica das derivadas parciais

No estudo das funções de uma variável, entendemos as derivadas como taxas de variação instantâneas, que serviam como instrumentos de interpretação de diversas situações da física, química, biologia, engenharia e economia. A velocidade instantânea de um veículo é a taxa de variação instantânea do quociente correspondente a variação do espaço pela variação do tempo, quando esta variação do tempo é tão pequena que se aproxima de zero.

• Vamos relembrar a derivada de uma função para uma variável:

A derivada de uma função [pic] no ponto [pic] é dada pela fórmula:
[pic]
Representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função [pic] no ponto [pic].

[pic] [pic]

Figura 1: Interpretação geométrica das funções de uma variável

Para as funções com duas variáveis, essa interpretação ocorre de forma semelhante, exceto pelo fato de que ela é parcial, ou seja, em relação a uma ou outra variável. Neste caso, temos a derivada em relação à variável x ou em relação à variável y fato que justifica de denominação de derivadas parciais.

De forma análoga, temos a representação algébrica:

1) Consideremos uma função [pic] em um ponto [pic] pertencente ao domínio da função. A derivada parcial de [pic] em relação à variável x no ponto [pic] é a derivada em [pic] da função resultante na fixação de [pic] e permitindo a variação de x. Podemos escrevê-la da seguinte forma:

[pic]

2) Consideremos uma função [pic] em um ponto [pic] pertencente ao domínio da função. A derivada parcial de [pic] em relação a variável y no ponto [pic] é a derivada em [pic] da função resultante na fixação de [pic] e permitindo a variação de y. Podemos escrevê-la da seguinte forma:

[pic]

2) Notação de derivadas de primeira