Momento angular

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Unidade VII

Momento Angular

1. Situando a Temática Já salientamos a importância das leis de conservação enquanto ferramentas poderosas para a solução de problemas. Quando estudamos o momento linear vimos a relevância da lei de conservação no estudo das colisões. Vamos definir e estudar agora uma nova grandeza que vai adicionar mais uma lei de conservação como ferramenta ao nosso arsenal. 2.Problematizando a Temática Imagine um corpo girando no espaço sem que o seu centro de massa se desloque. Todos os átomos do corpo — com exceção daqueles que estão “contidos” no eixo de rotação — estão em movimento, descrevendo trajetórias circulares. Desta forma, ainda que o centro de massa esteja em repouso, o corpo deve ter algum momento. De fato tem e esta quantidade de movimento é chamada demomento angular ou quantidade de movimento angular. Esta grandeza, que está associada ao movimento de rotação, será investigada agora. 3. Quantidade de Movimento Angular A Fig. 7.1 mostra uma partícula se deslocando no plano x,y com velocidade v e momento linear p = m v . A quantidade de momento angular l da partícula, em relação à origem O do sistema de coordenadas, é definida como:
→ → → → →l = r× p





(quantidade de movimento angular)

(7.1)

Portanto,o momento angular é um vetor que tem módulo igual a


|l| = | r |



|p | sen θ



(7.2)


O vetor momento angular é perpendicular ao plano definido por r e → v e o sentido dado pela regra da mão direita, Fig 1.8. 4. A Segunda Lei de Newton na Forma Angular Vamos considerar uma única partícula, comoaquela da Fig 7.1 e, assim como foi feito para o momento linear, vamos olhar para a variação de sua quantidade de movimento angular com o tempo. Derivando a Eq. 7.1 temos:
→ → → dl d → → d r → → dp dt = dt ( r ×p ) = dt × p + r × dt

Mas dr → → → → → × p = v × mv = m (v × v) = 0 dt e


VII.1

→ dp dv → → → → → r× = r×m = r × ma = r × F = τ dt dt →





Portanto encontramos:


dl→ dt = τ

(2ª lei de Newton na forma angular)

(7.3)

Que é completamente análoga à segunda lei de Newton para o movimento de translação, Eq. 5.8. 5. Sistema de Partículas e a Conservação do Momento Angular O momento angular para um sistema com n partículas é simplesmente a soma dos momentos individuais de cada uma das partículas;


L sist = Onde,


Σ l =Σ(r




i

i

×pi )



(sistema de partículas)

(7.4)

i

i

l i = quantidade de movimento angular da i-ésima partícula r i = vetor posição da i-ésima partícula → p i = quantidade de movimento linear da i-ésima partícula Derivando a Eq. 7.4 encontramos: dli d Lsist → = = τi dt i dt i
→ → →

Σ

Σ

(7.5)

Aqui, da mesma forma que na Eq.5.8 para o movimento de translação, a soma dos torquessobre todas as partículas é igual ao torque resultante sobre o sistema de partículas. Então, a 2a lei de Newton para um sistema de partículas em movimento de rotação fica:


d Lsist → = τ externo dt

(variação do momento angular)

(7.6)

A Eq. 7.6 nos diz que os torques produzidos pelas forças internas ao sistema (aquela que formam um par ação e reação), não contribuem para a variação domomento angular. Apenas os torques gerados pelas forças externas é que fazem o momento angular variar. Portanto, quando a soma dos torques externos (torques gerados pelas forças externas) é nula, o momento angular não varia, i.e., é conservado! Assim, r conservação  d L sist r τ externos = 0, =0  então (7.6) do dt  r  momento angular ou L sist = constante 



VII.2

Este resultado valetambém para um corpo rígido, uma vez que um corpo rígido é, no limite, um conjunto de muitas partículas (átomos). 6. Momento Angular e Velocidade Angular Vamos considerar uma partícula que descreve uma órbita circular, como mostra a Fig. 7.2. O momento angular da partícula num dado instante é dado pela Eq. 7.1. É um vetor perpendicular ao plano x,y no sentido positi→

vo do eixo z. O módulo de...
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