Modulo

Funçao modular

 Módulo (ou valor absoluto) de um número

O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é definido da seguinte maneira:

Então:
 se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x. Exemplos: | 2 | = 2 ; | 1/2 | = | 1/2 | ; | 15 | = 15  se x é negativo, | x | é igual a -x. Exemplos: | -2 | = -(-2) = 2 ; | -20 | = -(-20) = 20 O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo.
Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual a distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Assim:  Se | x | < a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve estar entre –a e a, ou seja, | x | < a  -a < x < a.

 Se | x | > a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou seja: | x | > a  x > a ou x < -a.

Equações Modulares

Chamamos de equações modulares as equações em que aparecem módulos de expressões que contêm incógnita.

Exemplos de equações modulares:

|x| = 1
|x + 3| = 6
|2x – 4| = x + 1
|x + 5| = |x – 10|

|2x² + 4x + 1| = 1

Formas de resolução

Exemplo 1
|x| = 1 Logo, X = 1 ou x= -1

S = {1,-1}
Exemplo 2

|x + 3| = 6
Condições:
x + 3 = 6 ou x + 3 = – 6
Resolução:
x + 3 = 6 → x = 6 – 3 → x = 3 x + 3 = – 6 → x = – 6 – 3 → x = – 9

S = {–9; 3}

Exemplo 3 |2x – 4| = x + 1
Condições:
|2x – 4| ≥ 0, dessa forma a equação só é possível se x + 1 ≥ 0, x ≥ –1.

|2x – 4| = x + 1
2x – 4 = x + 1 ou 2x – 4 = – (x + 1)

Resolução:
2x – 4 = x + 1 → 2x – x = 1 + 4 → x = 5

2x – 4 = – (x + 1) → 2x – 4 = – x – 1 → 2x + x = – 1 + 4 → 3x = 3 → x = 1

Verifique que x = 5 e x = 1, satisfazem a condição x ≥ – 1, portanto o conjunto solução é {5; 1}

Exemplo 4