Modelagem e controle de um pendulo invertido

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| Centro de Engenharias e Ciências ExatasAv. Tarquínio Joslin dos Santos, 1300, CEP 85870-650 Foz do Iguaçu, PR – Brasil |

Engenharia Mecânica

Análise de Sistemas Dinâmicos e Vibrações



Título do Trabalho: Modelagem e Controle do Pêndulo Invertido


Relatório Preparado por :

1 – Eduardo Fleck Correia RA: 189169
2 – Fabricio Dias Carrasco RA: 188968
3 –Lucas Rafael Hara Motta RA: 188973
4 – Jeremy Gustavo Rauber RA: 189049
5 – Miguel Angelo Monteiro RA: 189118
04 de maio de 2011.

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Espaço Reservado ao Docente:

Data de Submissão: ………

Nota: …………….…...........

Comentários:

Introdução
O pêndulo invertido é um suporte físico deextrema importância para o estudo do problema da estabilização de sistemas não lineares instáveis e de aplicações de estratégias de controle que permitam fazer o seguimento de trajetórias, garantindo uma certa imunidade a perturbações e incertezas de modelação.
A utilidade dos controles PID se encontra na sua aplicabilidade geral à maioria dos sistemas de controle. No campo dos sistemas de controlode processos contínuos, é fato conhecido que as estruturas de controle PID provaram sua utilidade ao propiciar controle satisfatório, embora não possam fornecer o controle ótimo em muitas situações específicas.

Objetivos
A proposta de modelagem é de mostrar as condições de estabilidade de um pêndulo invertido assumindo a haste do pêndulo com inércia, sobre um carrinho com movimento, o qual élimitado por uma mola e um amortecedor. Utilizando um controlador PID, o objetivo é fazer o pêndulo entrar em regime mesmo com distúrbio e estabilizar graças à ação de controle.
É válido ressaltar também que uma observação nos valores atribuídos e/ou encontrados para constantes, ganhos, entre outros, deve ser analisada a fim de obter um resultado satisfatório viável, visando desempenho,estabilidade e economia de projeto real.

Discussão
Foi escolhido fazer o equacionamento utilizando os conhecimentos obtidos com mecânica analítica, mais especificamente, utilizando as equações de Lagrange. Por ser uma maneira diferencial, interessante e direta de se obter as equações do movimento.
Modelagem Caixa Branca:
Energia Potencial:
V=12kx2+mg12cosθ Eq.(1)
Energia Cinética:T=12Mx2+12mddtx+L2senθ2+12mddtL2cosθ2+12Jθ2 Eq.(2)
T=12Mx2+12mx+L2θcosθ2+12m-L2θsenθ2+12Jθ2 Eq.(3)
Lagrangiano:
L=T-V Eq.(4)
L=12Mx2+12mx+L2θcosθ2+12mL2θsenθ2+12Jθ2-12kx2-mgL2cosθ Eq.(5)
Qi=∂∂t∂L∂qi-∂L∂qi;i=1, 2 Eq.(6)
Para q1=x → q1=x
∂∂tMx+mx+L2θcosθ+kx=ft-cx Eq.(7)
Mx+mx+mL2θcosθ-mL2θ2senθ+kx=ft-cx Eq.(8)
Linearizando:
M+mx+ mL2θ+kx+cx=ftEq.(9)
Para q2=θ → q2=θ
∂∂tmx+L2θcosθL2cosθ+mL2θsenθL2senθ+Jθ-mx+L2θcosθ-L2θsenθ+mL2θsenθL2θcosθ+mg2Lsenθ=0 Eq.(10)
Simplificando:
mL2xcosθ+mL24+Jθ-mgL2senθ=0 Eq.(11)
Linearizando:
mL2x+mL24+Jθ-mgLθ2=0 Eq.(12)
Encontrando as funções de transferência das Equações (9) e (12):
M+mx(s)s2+ mL2θ(s)s2+kx(s)+cxss=Fs Eq.(13)mL2x(s)s2+mL24+Jθ(s)s2-mgLθ(s)2=0 Eq.(14)
Isolando x(s) na Equação (14):
xs=gs2-L2-2JmLθ(s) Eq.(15)
Substituindo a Equação (15) na Equação (13):
M+mgs2-L2-2JmLθss2+ mL2θss2+k+csgs2-L2-2JmLθs=Fs Eq.(16)
Simplificando e isolando θ(s)F(s):
θ(s)F(s)=2mLs2-4JM+m+MmL2s4-c4J+mL2s3+2gLMm+m2-k(4JmL2)s²+2mgLcs+(2mglK)
Eq. (17)
θ(s)F(s)=Ps Eq.(18)
O diagrama de blocos abaixo mostra como que o sistemafoi implementado, onde a função de transferência P(s) é a mostrada acima, o controlador é um PID, que será mostrado a seguir e o sistema funciona com rejeição de distúrbio, ou seja, a referência para o ângulo de equilíbrio é zero.

Figura 1 – Diagrama de blocos para o pendulo invertido
A partir da função de transferência obtida acima, podemos obter sua resposta ao impulso, através do...
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