Modelagem rlc e pendulo simples

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MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS.







1. OBJETIVO

Temos como objetivo construir dois modelos físicos (circuito LRC e pêndulo simples) para testar os resultados empíricos nos modelos matemáticos obtidos teoricamente.

2. INTRODUÇÃO TEÓRICA

2.1. MODELOS

A Engenharia é um conjunto de modelos, que podem ser tantofísicos quanto matemáticos. Um modelo físico é um arranjo de peças e mecanismos reais e o matemático envolve a aplicação de leis físicas e julgamentos de Engenharia para obter um conjunto de adequações que irão (dentro de certa aproximação) descrever adequadamente o comportamento do sistema.

2.2. CONCEITO DE ENTRADA E SAÍDA

Uma entrada é qualquer grandeza que pode modificar, de formasignificativa ou não, o estado do sistema. Já uma saída é qualquer grandeza do sistema que caracteriza o seu estado.

Figura 1 - Representação de Entrada e Saída em um sistema.
Figura 1 - Representação de Entrada e Saída em um sistema.

2.3. PARTES DE UMA MODELAGEM

As modelagens possuem fundamentalmente quatro partes: (i) hipóteses; (ii) aplicação de leis básicas do conhecimentocientífico; (iii) relações entre as variáveis; e (iv) validação do modelo.

2.4. LEIS BÁSICAS

Para uma grande gama de modelagens, utilizamos quatro Leis: (i) Lei de Newton; (ii) Lei de Kirchhoff; (iii) Lei da Conservação da Massa; e (iv) Lei da Conservação da Energia.

2.5. RELAÇÕES BÁSICAS

Para modelar elementos e aplicar suas características nas Leis acima descritas, recorremos àrelações básicas, brevemente citadas a seguir, e que geram a Tabela 1 de fórmulas abaixo: SISTEMAS MECÂNICOS – (i) mola linear; (ii) amortecedor linear; SISTEMAS ELÉTRICOS – (iii) resistência linear; (iv) capacitor puro; (v) indutor puro; SISTEMAS TÉRMICOS – (vi) resistência térmica pura; (vii) capacitância térmica pura; SISTEMAS FLUÍDICOS – (viii) resistência fluídica linear; (ix) capacitânciafluídica pura; (x) inertância fluídica pura.
Tabela 1 – Fórmulas das relações básicas.
Tabela 1 – Fórmulas das relações básicas.

2. MODELAGENS

3.6. CIRCUITO LRC

Para o sistema da Figura 2, determinaremos a função de transferência e0/ei(D):

Figura 2 - Circuito LRC
Figura 2 - Circuito LRC

Fazendo o percurso pela malha 1, iniciando em d e terminando em d, então:

(3.11)-ei+Ri1+LDi1+1CDi1-i2=0

Como i2 = 0, então

(3.12) LCD2+RCD+1CDi1=e1

Fazendo o percurso pela malha 2, iniciando em f e terminando em f, então

(3.13) e0+1CDi2-i1=0

Como i2 = 0, então

(3.14) -i1+CDe0=0

Reescrevendo (3.12) e (3.14) obtemos:

(3.15) LCD2+RCD+1CDi1+0e0=e1-1i1+CDe0=0

Aplicando a Regra de Cramer para calcular e0, da equação (3.15), obtemos

(3.16)e0D=LCD2+RCD+1CDe1-10LCD2+RCD+1CD0-1CD=e1LCD2+RCD+1

Logo, a função de transferência e0/e1(D) resulta:

(3.17) e0e1D=1D2ωn2+2ζωnD+1

Em que:

ωn=1LC = frequência natural não amortecida; e
2ζωn=RC ou: ζ=RC2LC fator de amortecimento.

3.7. PÊNDULO SIMPLES
(3.2.1) Um pêndulo simples é um corpo ideal que consiste de uma partícula suspensa por um fio inextensível e de massa desprezível.Quando afastado de sua posição de equilíbrio e solto, o pêndulo oscilará em um plano vertical sob à ação da gravidade; o movimento é periódico e oscilatório, sendo assim podemos determinar o período do movimento.

A figura acima exemplifica um pêndulo de comprimento L, sendo m a massa da partícula. No instante mostrado, o fio faz um ângulo q com a vertical. As forças que atuam em m são o peso m.g ea tração da corda T. O movimento será em torno de um arco de círculo de raio L; por isto, escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro tangente ao círculo. O peso m.g pode ser decomposto numa componente radial de módulo m.g.cosq e numa componente tangencial m.g.senq . A componente radial da resultante é a força centrípeta que mantém a partícula na trajetória...
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