Modelagem matematica

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UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO
Licenciatura em Matemática

Construindo e explorando modelos matemáticos

São Paulo
2011
ATIVIDADE 1
Ajustando uma função polinomial do 1º grau a dados
Vamos supor que o gerente de uma fábrica queira conhecer a relação existente entre o número médio de camisetas vendidas, num determinado período de tempo, e o preço unitário de cada camiseta. Para tantoele coletou os dados expressos em uma tabela.
|P: preço de cada camiseta (R$) |30 |40 |50 |60 |
|N: nº médio de camisetas vendidas |150 |120 |90 |60 |

Pode-se facilmente verificar que os dados expressos nessa tabela são lineares – os pontos no planocartesiano que representam esses dados são colineares. Como a inclinação da reta é – 3 e o ponto de interseção com o eixo vertical é 240, obtém-se a sentença que expressa N em função de p: N(p) = 240 – 3p. Evidentemente, os dados da realidade não são assim tão “comportados”, ou seja, não se ajustam exatamente a um tipo de função. Suponhamos que os dados coletados pelo gerente da loja sejam osapresentados na tabela:
|P: preço de cada camiseta (R$) |30 |40 |50 |60 |
|N: nº médio de camisetas vendidas |158 |117 |94 |52 |

Como em geral é bastante difícil encontrar uma fórmula que se ajuste exatamente a todos os dados, devemos nos satisfazercom uma fórmula que dê uma boa aproximação. Os dados dessa tabela não são lineares, pois não há uma única reta que passe por todos esses pontos. Mas podemos dizer que esses pontos são “quase” colineares. A figura a seguir representa a reta relativa à função N(p) = 240 – 3p e os pontos que representam os dados reais.

Podemos dizer então que a função N(p) = 240 – 3p pode modelar os dadosobtidos pelo gerente da loja. Mas será que existe uma reta que melhor se ajuste a esses dados? Se sim, como obtê-la?
O processo para “ajustar” uma reta a um conjunto de dados chama-se regressão linear e a reta de melhor ajuste é denominada de reta de regressão.
A reta a seguir, que é a representação da função N(p) = 258,7 – 3,41p, parece estar mais ajustada aos dados que a retaanterior.

A reta de regressão permite fazer predições. Pode-se prever, por exemplo, que o número médio de camisetas a serem vendidas seria 37 se o preço de cada uma aumentasse para R$ 65,00, pois N(65) = 258,7 – 3,41x65 = 37,05.
Embora a fórmula N(p) = 240 – 3p represente uma aproximação bastante razoável, o resultado seria diferente: N(65) = 240 – 3x65 = 45 camisetas.
Resolva:
Aequipe de produção de confecção coletou o custo para produzir várias quantidades de calças. Os dados são apresentados na tabela abaixo:
|q: quantidade de calças produzidas |10 |20 |30 |40 |50 |
|C: custo em reais |80 |130 |152 |180 |230 |

a)Encontre uma sentença que relaciona as grandezas q e C.
b) É razoável utilizar um modelo linear para os dados da tabela? Em caso afirmativo procure uma reta que ajuste esses dados.

Atividade 02: A radioatividade
O tempo necessário para a desintegração da metade dos átomos radioativos inicialmente presentes em qual quer quantidade de uma substância radioativa recebe o nome de meia-vida ouperíodo de semidesintegração. Por exemplo, o cobalto 60, usado na medicina, possui meia-vida igual a 5 anos. Isso significa que uma amostra de 120 gramas de cobalto 60, após 5 anos terá apenas 60 gramas; decorridos mais 5 anos, terá 30 gramas, e assim por diante. Com base nessas considerações é possui escrever um modelo matemático que retrate tal situação, considerando que M é a massa final, depois...
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