mn ijjnmbj

Capítulo 10:

Transformação da Deformação

du ε xx = dx ε yy =

dv dy Deformações:

ε xy =

ε xy =

ε xx

[ε ] = ε yx
ε zx


γ xy
2

γ xy

1  du dv 
= 
+ 
2 2  dy dx 

ε xy ε xz   ε xx
 λ ε yy ε yz  =  2 ε zy ε zz   λ 2
  xy zx

λxy
2

ε yy λzy 2

λxz

 λ yz 
2  ε zz 

2

Deformações:
ε xx

[ε ] = ε yx
ε zx


ε xy ε xz  ε xx ε xy

ε yy ε yz  = ε yx ε yy

 0 ε zy ε zz  
0

0
0

0


ε xx
[ε ] = ε
 yx

EPD (Estado Plano de Deformação)

ε xy  ε yy 


Transformação de Deformação (EPD):

ε x ' = ε x cos 2 θ + ε y sin 2 θ + ε xy 2sin θ cos θ ε y ' = ε x sin 2 θ + ε y cos 2 θ − ε xy 2sin θ cos θ ε x ' y ' = ( ε x − ε y ) sin θ cos θ + ε xy ( cos 2 θ − sin 2 θ )

ε x' = ε y' =

εx +εy
2

εx + ε y
2

+
−

εx −εy
2

εx −εy

 εx −εy
 2

ε x' y' = − 

2

cos 2θ + ε xy sin 2θ cos 2θ − ε xy sin 2θ


 sin 2θ + ε xy cos 2θ


Deformações Principais (EPD):

ε1 =

ε2 =

εx +εy
2

εx +εy
2

2
 εx −εy 
+ 
 + ( ε xy )
2 

2

 εx −εy 

− 


 + ( ε xy )


2

2

2
 εx −εy  ε −ε
= 
+ ( ε xy ) = 1 2

2
 2 
2

ε cis − max

2

tan ( 2θ p ) =

ε xy
 εx −εy 



2




Exemplo:
Um elemento diferencial de material em um ponto está sujeito a um estado de

( )

(

)

(

plano de deformação definido por ε x = −350 10−6 , ε y = 200 10 −6 , γ xy = 80 10−6 que tende a distorcer o elemento como mostra a figura abaixo. Determine a deformação por cisalhamento máxima no plano no ponto e a orientação do elemento associada.

)

Solução:
Olhando pela orientação do elemento,

Para deformação por cisalhamento máxima no plano

Circulo de Mohr:

ε normais

ε cisalhamento
Deformação por cisalhamento máxima absoluta:

ε cis − max =
Abs

ε1 − ε 3
2

ou

ε cis − max =
Abs

ε max − ε min
2

Deformação