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´
Algebra Linear—Exerc´
ıcios Resolvidos

Agosto de 2001

2

Sum´rio
a
1 Exerc´
ıcios Resolvidos — Uma Revis˜o
a

5

2 Mais Exerc´
ıcios Resolvidos Sobre Transforma¸˜es Lineares
co

3

13

4

´
SUMARIO

Cap´
ıtulo 1

Exerc´
ıcios Resolvidos — Uma Revis˜o
a
Ex. Resolvido 1 Verifique se V = {(x, y, z, w) ∈ R4 ; y = x, z = w2 } com as opera¸˜es usuais de R4 ´ umco
e
espa¸o vetorial.
c
Resolu¸˜o: Note que (0, 0, 1, 1) ∈ V mas −1(0, 0, 1, 1) = (0, 0, −1, −1) ∈ V. Assim, V n˜o ´ um espa¸o
ca
ae
c
vetorial.
Ex. Resolvido 2 Seja A ∈ Mn (R) uma matriz quadrada de ordem n. Verifique se W = {X ∈ Mn×1 (R); AX =
0} ´ um subespa¸o vetorial de Mn×1 (R), com as opera¸˜es usuais.
e
c
co
Resolu¸˜o:
ca
1. Seja O = (0) a matriz n × 1 nula. Como AO = O,temos que O ∈ W.
2. Se X, Y ∈ W e λ ∈ R, ent˜o, pelas propriedades da soma e da multiplica¸˜o por escalar usuais entre
a
ca
as matrizes e, tamb´m, pelas propriedades do produto entre matrizes, temos
e
A(X + λY ) = AX + A(λY ) = AX + λAY = O + λO = O.
Portanto X + λY ∈ W.
Conclu´
ımos que W ´ um subespa¸o vetorial de Mn×1 (R).
e
c
Ex. Resolvido 3 Encontre o subespa¸o vetorial de P3 (R)gerado por S = {1, t, t2 , 1 + t3 }.
c
Resolu¸˜o: Note que t3 = (t3 + 1) − 1. Assim, dado p(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 ∈ P3 (R) podemos escrever
ca
p(t) = (a0 − a3 ) + a1 t + a2 t2 + a3 (t3 + 1) ∈ [S ]. Logo, P3 (R) = [S ].
Ex. Resolvido 4 Encontre o subespa¸o vetorial de M2 (R) gerado por
c
S=

0
0

1
0

,

00
−1 0

Resolu¸˜o: Temos que A ∈ [S ] se e somente se existem α, β∈ R tais que
ca
A=α

0
0

1
0



00
−1 0

=

0
−β

α
0

,

ou seja, A ∈ [S ] se e somente se os elementos da diagonal principal de A s˜o nulos.
a

5

˜
CAP´
ITULO 1. EXERC´
ICIOS RESOLVIDOS — UMA REVISAO

6

Ex. Resolvido 5 Encontre um conjunto finito de geradores para
W = {X ∈ M3×1 (R) : AX = 0},
onde

Resolu¸˜o:
ca



01
A= 2 1
11


0
0.
4



   
α
010
α
0
X = β  ∈ W ⇐⇒ 2 1 0 β  = 0
γ
114
γ
0

   

   
114
α
0
11
4
α
0
⇐⇒ 2 1 0 β  = 0 ⇐⇒ 0 −1 −4 β  = 0
010
γ
0
01
0
γ
0

   

   
0
0
114
α
11 4
α
⇐⇒ 0 1 4 β  = 0 ⇐⇒ 0 1 4  β  = 0
010
γ
0
0 0 −4
γ
0

   
0
114
α
⇐⇒ 0 1 4 β  = 0 ⇐⇒ α = β = γ = 0,
001
γ0

portanto,

 
0
W = 0 .


0

Ex. Resolvido 6 Encontre um conjunto finito de geradores para
W = {X ∈ M4×1 (R) : AX = 0},
onde



1
2
A=
3
0

Resolu¸˜o:
ca



1
0
⇐⇒ 
0
0

1
0
1
−2

−1
1
0
3


0
1
.
1
1


   

α
1 1 −1 0
α
0
β 
2 0
1 1 β  0
  =  
X =   ∈ W ⇐⇒ 
γ 
3 1
0 1  γ  0
0−2 3 1
δ
δ
0
   
   

1 −1 0
α
0
1 1 −1 0
α
0
0 −2 3 1 β  0
−2 3 1 β  0
   =   ⇐⇒ 
  =  
0 0
−2 3 1  γ  0
0 0  γ  0
−2 3 1
00
00
δ
0
δ
0

   
1 1 −1
0
α
0
0 1 −3/2 −1/2 β  0

  =  
⇐⇒ 
00
0
0   γ  0
00
0
0
δ
0

7

1
0
⇐⇒ 
0
0

0
1
0
0

1/2
−3/2
0
0

⇐⇒
isto ´,
e   
1/2
α
0
−1/2 β  0
  =  
0   γ  0
0
δ
0

α = −γ/2 − δ/2
β = 3γ/2 + δ/2

,







−γ/2 − δ/2
−1/2
−1/2
 3γ/2 + δ/2 




 = γ  3/2  + δ  1/2  ,
X=


1
0
γ
δ
0
1

portanto,



−1/2
−1/2
 3/2   1/2 


W = 
 1  ,  0  .
0
1

Ex. Resolvido 7 Encontre uma base para o subespa¸ovetorial de R3 dado por U = [(1, 0, 1), (1, 2, 0), (0, 2, −1)].
c
Resolu¸˜o: Primeiro Modo: (x, y, z ) ∈ U se e somente se existem α, β, γ ∈ R tais que
ca
α(1, 0, 1) + β (1, 2, 0) + γ (0, 2, −1) = (x, y, z ),
ou seja, (x, y, z ) ∈ U se e somente se o sistema abaixo admite solu¸˜o
ca

   

  

11 0
α
11
0
α
x
x
0 2 2  β  = y  ⇐⇒ 0 2
2  β  =  y 
1 0...
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