metodos matematicos

INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES

MÉTODOS MATEMÁTICOS II
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Vimos que as regras básicas de integração estão estreitamente relacionadas com as correspondentes regras básicas de diferenciação.
O método de substituição que vamos estudar em seguida está relacionado com a regra da cadeia para a diferenciação de funções compostas. Quando usado conjuntamente com as regras básicas de integração, o método de substituição é uma ferramenta indispensável para a integração de uma ampla classe de funções que podem ser escritas na forma f ( g ( x) ) g ′( x) .

∫ f ( g ( x) ) g ′( x) dx = ∫ f (u )du

onde u = g ( x) e du = g ′( x) dx

Calcule ∫ 2 x ( x 2 + 3) dx .
4

O integrando pode ser reescrito na forma

∫ ( g ( x) )

4

∫(x

+ 3) 2 x dx para que se possa observar que é do tipo
4

2

g ′( x)dx onde g ( x) = x 2 + 3 e g ′( x) = 2 x .

du
= 2 x , e portanto du = 2 xdx dx Passo 1. Escolhemos portanto u = x 2 + 3, logo

Passo 2. Fazendo esta substituição, obtemos ∫ 2 x ( x 2 + 3) dx = ∫ ( x 2 + 3) ( 2 x ) dx = ∫ u 4 du
4

Passo 3. Calculamos ∫ u 4 du :

1

∫ u du = 5 u
4

5

4

+C.

Passo 4. Substituímos u por x2 + 3 e assim obtemos: ∫ 2 x ( x 2 + 3) dx =
4

Verificação:

5  d 1 2
1 d
 ( x + 3)  = dx  5
 5 dx

Calcule

∫ x (x
2

3

(( x

2

+ 3)

5

) = 15 × 5 ( x

2

5
1 2 x + 3) + C
(
5

+ 3) × 2 x = 2 x ( x 2 + 3)
4

4

3
2

+ 1) dx .
3
2

3

1
1
O integrando pode ser reescrito na forma ∫ ( x + 1) × ( 3 x 2 ) dx = ∫ ( x3 + 1) 2 ( 3 x 2 ) dx para que se
3
3 possa observar que é do tipo
3

3

∫ ( g ( x) ) 2 g ′( x)dx
Passo 1. Escolhemos portanto u = x3 + 1, logo

onde g ( x) = x 3 + 1 e g ′( x) = 3 x 2 . du = 3 x 2 , e portanto du = 3 x 2 dx dx 3

Passo 2. Fazendo esta substituição, obtemos

3

1
1
x 3 + 1) 2 ( 3 x 2 ) dx = ∫ u 2 du
(
∫
3
3

Aula 2, 4 a 9-ago-2014: Integração por substituição.