Metodologia cientifica

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Como ler e estudar matem´tica? a
Ricardo Bianconi∗

Introdu¸˜o. ca
Matem´tica ´ uma disciplina dedutiva, ou seja, todas as propriedades das estruturas a serem a e estudadas s˜o deduzidas a partir de propriedades elementares, usando argumentos l´gicos para, a o passo a passo, chegarmos `s propriedades desejadas. Raramente ´ f´cil descobrirmos quais s˜o os a e a a passos a serem dados, mas, umavez descobertos, devem ser “f´ceis” de serem lidos. a Bom, “f´ceis” de serem lidos, desde que se esteja familiarizado com a linguagem e com o tipo a de argumenta¸ao. Infelizmente, esse tipo de linguagem e de argumenta¸ao n˜o s˜o naturais para c˜ c˜ a a ´ as pessoas. E preciso adquirir familiaridade com elas, mediante treinamento e desenvolvimento de um esp´ ırito cr´ ıtico muito sutil. Paratentar suprir esta necessidade para alunos que n˜o tenham tido esse treino no segundo a grau, e para esclarecer alguma d´vida eventual para os que j´ tˆm pr´tica, proponho este guia de u a e a estudos. A aluna e o aluno que desejarem usar este guia devem evitar encar´-lo como uma lei que a deva ser seguida ` risca, cerceando a liberdade de pensamento e criatividade. Ele serve apenas como a um guia,levando ` clareza de pensamento e de express˜o. Por favor, uma vez adquirida pr´tica, a a a sejam audaciosos, visando a desenvolver seu pr´rpio estilo e criatividade, afiando seu esp´ o ırito cr´ ıtico. Como usar este guia? Sugiro que fa¸am uma primeira leitura (sem se preocupar com entendimento) para saberem c do que se trata, quais s˜o as partes do texto, os exemplos, enfim, o que atrair suacuriosidade. a Depois partam para uma leitura mais s´ria. Este trabalho tentar´ mostrar como entender alguns e a dos jarg˜es mais usados em matem´tica, e como analisar uma demonstra¸˜o (esta palavra ser´ uma o a ca a
IME-USP, Caixa Postal 66281, CEP 05315-970, S. Paulo, SP, (e-mail: bianconi@ime.usp.br), (homepage: http://www.ime.usp.br/∼bianconi) Agradecimentos: A id´ia deste texto nasceu de umanescessidade de entender os enunciados formais, expressa e pelos meus alunos do curso de Licenciatura em Matem´tica, aos quais eu lecionei a disciplina Introdu¸ao ` Teoria a c˜ a dos Conjuntos em 1997. Com eles fiz uma experiˆncia, mudando completamente o enfoque da disciplina, o que eles e reconheceram ser muito mais proveitoso. Acredito que a experiˆncia teve sucesso. A eles todos devo um muito eobrigado. Devo tamb´m agradecer `s professoras Iracema Martin Bund e Elza Gomide e ao professor Paulo Ferreira e a Leite pelo encorajamento ` elabora¸˜o deste texto, sem o qual, este ficaria s´ na id´ia. Agrade¸o tamb´m ao colega a ca o e c e A X. Severino Toscano do Rego Melo que, al´m de dar sugest˜es interessantes, ajudou-me com o L TE e o


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constante durante seu curso, e ´ preciso superar aojeriza inicial que ela possa causar). O estudo de e um livro de matem´tica pode ser feito assim: fa¸am o mesmo tipo de an´lise fina das demonstra¸˜es a c a co do livro (n˜o sejam passivos e ap´ticos com o texto; extraiam mais do que ele traz escrito); fa¸am os a a c exerc´ ıcios, n˜o tenham medo de fazer contas; sejam modestos, n˜o suponham que seja um trabalho a a f´cil; a evolu¸ao pode serlenta, mas repentinamente vocˆs peceber˜o que est˜o entendendo. a c˜ e a a Existe uma grande diferen¸a de n´ de dificuldade entre entender uma demonstra¸ao e descobrir c ıvel c˜ uma demonstra¸ao. Durante seu curso, v˜o ser encontrados muitos exerc´ c˜ a ıcios pedindo “mostre que ...” ou “demonstre ...” (ou “prove que ...”). N˜o existe um receitu´rio infal´ que funcione para a a ıvel 1 todas as buscasde uma demonstra¸ao. Mas ´ poss´ dar algumas dicas de como tentar e ter c˜ e ıvel algum sucesso, o que ´ feito no fim deste texto. e Passemos ent˜o ao trabalho. a

Come¸ando com um exemplo: resolver equa¸˜es c co
Vamos tentar motivar o tipo de racioc´ ınio dedutivo usado em matem´tica analisando uma a resolu¸ao da seguinte equa¸˜o. c˜ ca Resolver: 2x + 5 = 3x − 2. A t´cnica consiste em isolar a...
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