Medidas de tendencia central

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Medidas de Tendência
Central
Introdução
Média Aritmética
Moda
Mediana

Introdução
• A maioria dos dados apresenta uma
tendência de se concentrar em torno de
um ponto central
• Portanto, é possível selecionar um valor
que melhor descreva o conjunto
• Este valor é uma medida de tendência
central

Introdução
• Há vários tipos de medidas utilizadas
como medida de tendênciacentral. Nós
estudaremos as medidas:
– Média aritmética
– Moda
– Mediana

Média Aritmética Simples
• Tipo de medida de tendência central mais
utilizada
• É a soma dos valores de todas as observações
dividida pelo número de observações envolvidas
• Perigo: um ou mais valores bastante
discrepantes do conjunto podem distorcer a
tendência apresentada pela média
– Esta distorção pode seramenizada aplicando-se
pesos às observações (média aritmética ponderada)

Média Aritmética Simples
• A média aritmética pode ser escrita como:

X 1 + X 2 + ... + X n
3
X=
n
• Ou, de forma simplificada:
n

X=



i= 1

Xi

n

Média Aritmética Simples

• OBS: normalmente trabalha-se com a média
da amostra X e não com a média da
população μ devido ao custo e dificuldade decálculo desta medida

Média Aritmética Simples


Exercícios




Dada uma amostra das notas dos alunos
da disciplina de estatística, calcule a média
aritmética:
{5.0, 6.5, 5.5, 8.0, 7.5, 6.0, 5.1, 7.0}
O que aconteceria com a média se a nota
0.1 fosse incluída na amostra?

Média Aritmética Simples
• Propriedades
1- A soma dos desvios em relação à média é sempre igual a zero

di = xi − x

xi
5

-1,325 = 5 - 6,325

6,5

0,175 = 6,5 - 6,325

5,5

-0,825 = 5,5 - 6,325

8

1,675 = 8 - 6,325

7,5

1,175 = 7,5 - 6,325

6

-0,325 = 6 - 6,325

5,1

-1,225 = 5,1 - 6,325

7

0,675 = 7 - 6,325



di = 0

Média Aritmética Simples
• Propriedades
2- A soma do quadrado dos desvios em relação à média é chamado
desvio mínimo, valor utilizadoem otimizações e regressões

d i = xi − x

di

5

-1,325 = 5 - 6,325

1,75

6,5

0,175 = 6,5 - 6,325

0,03

5,5

-0,825 = 5,5 - 6,325

0,68

8

1,675 = 8 - 6,325

2,8

7,5

1,175 = 7,5 - 6,325

1,38

6

-0,325 = 6 - 6,325

0,11

5,5

-1,225 = 5,1 - 6,325

1,5

7

0,675 = 7 - 6,325

2

0,45

xi

∑ d i ≈8,7
2

Média Aritmética Simples
•Propriedades
3- Se for somada (ou subtraída) uma constante K a cada elemento da
amostra, a média aritmética será também somada (ou subtraída) a esta
constante

xi

xi + 5

5

10

6,5

11,5

5,5

10,5

8

13

7,5

12,5

6

11

5,1

10,1

7

12

x =6,325

x =11,325

Média Aritmética Simples
• Propriedades
4- Se for multiplicada (ou dividida) umaconstante K a cada
elemento da amostra, a média aritmética será também
multiplicada (ou dividida) por esta constante



Exercício: demonstre esta propriedade!

Média Aritmética Ponderada
• Caso os dados se repitam, para calcular a média
pode-se fazer a somatória da multiplicação de cada
valor pela respectiva freqüência e dividir pelo total de
valores
∑ x i∗ f i
x=
∑ fi

• Esta fórmulaé uma média aritmética ponderada pela
freqüência
• É equivalente à média aritmética simples

Média Aritmética
• Exercícios:




Demonstre que a média aritmética simples e a
ponderada (por freqüência) são equivalentes
Insira nos dados da tabela do exercício
anterior um valor repetido e calcule a média
aritmética simples e a ponderada

Moda
• Moda é o valor que aparece maisfreqüentemente em um conjunto de dados
• Ao contrário da média aritmética, a moda não é
afetada por valores extremos
• É utilizada para fins descritivos apenas, uma vez
que é, dentre as medidas de tendência, a mais
variável de amostra para amostra

Moda
• Moda em dados não tabulados
X={4, 2, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9}
Moda=6
OBS: Amostras podem possuir apenas uma moda (unimodal), duas...
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