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Universidade Federal de Alagoas
Campus do Sertão
Eixo da Tecnologia
Elementos de Cálculo 3

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS

10.1
Prof. Adeildo Amorim
Semestre letivo 2012.1

 Nós

já descrevemos curvas planas
fornecendo:
◦ y como uma função de x, y = f(x), ou x como um
função de y, x = g(y);
◦ Uma relação entre x e y que define y implicitamente
como uma função de x, f(x, y) = 0.2/82

 Este

capítulo apresenta 2 novos
métodos para descrever curvas.

3/82



Algumas curvas (como a ciclóide) são mais bem
manipuladas quando x e y são dados em
termos de uma terceira variável t, chamada
parâmetro:

x = f(t)
y = g(t)

4/82



Outras curvas (como a cardióide) possuem uma
descrição mais conveniente quando o sistema
de coordenadas polares é utilizado.◦ Assunto já visto em Elementos de Cálculo 2.

5/82

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS

10.1
Curvas Definidas por
Equações Paramétricas
Nesta seção, iremos aprender sobre:
Equações paramétricas e a geração de suas curvas.



Imagine que uma partícula se move
ao longo da curva C mostrada aqui.
◦ É impossível descrever C por uma equação da forma
y = f(x).
◦ C falha no Teste da
Reta Vertical.7/82



No entanto, as coordenadas x e y da
partícula são funções do tempo.
◦ Logo, podemos escrever x = f(t) e y = g(t).

8/82

 Esse

par de equações é, muitas
vezes, uma maneira conveniente de
descrever uma curva e faz surgir a
seguinte definição.

9/82



Suponha que x e y são ambas dadas como
funções de uma terceira variável t (chamada
parâmetro) pelasequações

x = f(t) e y = g(t)
◦ Essas são as chamadas equações paramétricas.

10/82





Cada valor de t determina um ponto (x, y),
que podemos marcar em um plano coordenado.
Quando t varia, o ponto (x, y) = (f(t), g(t)) varia
e traça a curva C.
◦ A qual chamamos de curva parametrizada.

11/82

parâmetro t não representa,
necessariamente, o tempo.

O

◦ De fato, podemos usarqualquer letra diferente
de t para o parâmetro.

12/82

 No

entanto, em muitas aplicações
de curvas parametrizadas, t
denota o tempo.
◦ Portanto, podemos interpretar (x, y) = (f(t), g(t))
como a posição de uma partícula no tempo t.

13/82

Exemplo 1

 Esboçar

e

definida
paramétricas

identificar
pelas

x = t2 – 2t

a curva
equações

y=t+1

14/82

Exemplo 1

Cada valor de t fornece um ponto
na curva, como na tabela:
◦ Por exemplo, se t = 0,
então x = 0, y = 1.
◦ Logo, o ponto
correspondente é (0, 1).

15/82

Exemplo 1



Assim, marcamos os pontos (x, y) dados por
vários valores do parâmetro e juntamos eles
para gerar a curva.

16/82

Exemplo 1



Uma partícula cuja posição é dada por
equações paramétricas se moveao longo da
curva na direção das setas quando t aumenta.

17/82

Exemplo 1



Observe que pontos consecutivos marcados
na curva aparecem em intervalos de tempo
iguais, mas não necessariamente a distâncias
iguais.
◦ Isso porque
a partícula desacelera
e então acelera
quando t aumenta.

18/82

Exemplo 1



Parece que a curva traçada pela
partícula poderia ser uma parábola.◦ Podemos confirmar isso
eliminando o parâmetro
t, como a seguir.

19/82

Exemplo 1




Obtemos t = y – 1 a partir da equação y = t + 1.
Substituímos ele na equação x = t2 – 2t.

◦ Resultando em: x = t2 – 2t
= (y – 1)2 – 2(y – 1)
= y2 – 4y + 3
◦ Logo, a curva representada pelas equações
paramétricas dadas é a parábola x = y2 – 4y + 3

20/82

equação x = y2 – 4y + 3 em xe
y descreve onde a partícula
esteve.

A

◦ No entanto, ela não nos diz quando ela estava
em um ponto específico.

21/82





As equações paramétricas têm uma vantagem:
elas nos avisam quando uma partícula estava
em determinado ponto.

Elas também indicam a direção do movimento.

22/82





Nenhuma restrição foi imposta ao parâmetro
t no Exemplo 1.
Logo,...
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