Media aritmetica

Arquitas de Tarento, um matemático pitagórico que floresceu por volta de 400 a.C., definiu que existiam três tipos de média. Um número é a média aritmética de dois outros quando o excesso do primeiro para o segundo é igual ao excesso do segundo para o terceiro, a média geométrica quando a proporção do segundo para o terceiro é igual à proporção do primeiro para o segundo, e a média harmônica quando a quantidade que o primeiro excede o segundo em relação ao primeiro é igual à quantidade que o segundo excede o terceiro em relação ao terceiro;1 em notação moderna, sendo o primeiro x, o segundo m e o terceiro y (x > m > y > 0): x - m = m - y\, (média aritmética)
\frac{m}{y} = \frac{x}{m}\, (média geométrica)
\frac{x - m}{x} = \frac{m - y}{y}\, (média harmônica) que, após transformações, chegam às fórmulas: m = \frac {x + y}{2}\, (média aritmética) m = \sqrt {x y}\, (média geométrica)
\frac{1}{m} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})\, (média harmônica)
Há dois tipos de média aritmética - simples ou ponderada.
Média aritmética simples
A média aritmética simples é a mais utilizada no nosso dia-a-dia. É obtida dividindo-se a soma das observações pelo número delas. É um quociente geralmente representado pelo símbolo \bar{x}. Se tivermos uma série de n valores de uma variável x, a média aritmética simples será determinada pela expressão:
\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + .. .. + x_n}{n} = {1 \over n} \sum_{i = 1}^n{x_i}
Média aritmética ponderada
Consideremos uma coleção formada por n números: x_1, x_2, \ldots, x_n, de forma que cada um esteja sujeito a um peso [Nota: "peso" é sinônimo de "ponderação", respectivamente, indicado por: p_1, p_2, \ldots, p_n. A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um multiplicados por seus respectivos pesos, dividida pela soma dos pesos, isto é:
\bar{p} = \frac{x_1 p_1 + x_2 p_2 + .. .. + x_n p_n}{p_1 + p_2 + .. .. + p_n}
Obviamente, a média aritmética e a média ponderada podem ser generalizadas