Mecanica

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Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia Mecânica - EMA-084N

Cap. 2.- Matrizes e Sistemas Lineares 2.1. Definição Representações Matriz retangular A, m x n (eme por ene) a11 a 12 ⋯ a 1n a 2n A= a 21 ⋮ ⋮ a m1 a m2 ⋯ a mn Matriz é um conjunto organizado de números dispostos em linhas e colunas.

[

]

A ou [ A] ou  A ou ∥A∥ linha = rows coluna = columns

a ij é o elemento da matrizlocalizado na linha i e na coluna j A = a ij  para i = 1 m e j = 1 n

2.2. Tipos Matriz linha Matriz coluna Matriz quadrada de ordem n m=1 A=[ 1 2 3 ] 1 A= 2 3

n=1 m=n

[]
1 2 3 A= 4 5 6 7 8 9

Os elementos da diagonal principal são: a ij para i = j

[ ]
[1 5 9 ] [3 5 7 ]

Os elementos da diagonal secundária são: a ij para i + j = n + 1 m=n=1

Matriz unitária

A=[ 3 ]

Matrizdiagonal

Os elementos são: a ij = 0 para i≠ j 1 0 0 A= 0 5 0 0 0 9

[ ]
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José Eduardo Mautone Barros

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2.2. Tipos(cont.)

Matriz identidade É a matriz diagonal onde:

1 0 0 I 3= 0 1 0 0 0 1
a ij = 1 para i= j a ij = 0 para i≠ j

[ ]

Matriz diagonal superior (U) (“upper”) Matriz diagonal inferior(L) (“lower”) Matriz nula

Os elementos abaixo da diagonal principal são nulos.

1 2 3 U= 0 8 5 0 0 2 2 0 0 L= 3 5 0 1 2 1

Os elementos acima da diagonal principal são nulos. Todos os elementos são nulos: a ij = 0 para todo i e j

[ ] [ ]
N=

[ ]
0 0 0 0

Matriz oposta A = -B

A é oposta de B se: a ij = −b ij para todo i e j

A=

B= Matriz idêntica A=B

[ [

1 −3 7 2

]]

−1 3 −7 − 2

A é idêntica a B se: a ij = bij para todo i e para todo j

[ ][ ]
a b 1 2 = c d 5 7

a=1 ; b=2 ; c=5 ; d =7

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2.3. Operações Adição C=A+B As matrizes são do mesmo tamanho m x n.
c ij = aij  bij Vi e V j

[ ][ ][ ]
1 2 4 7 5 9  = 1 3 5 8 6 11

[ 2 30 1 ][ 7 2 5 3 ] =[ 9 5 5 4 ]
Propriedades A+B=B+A A + (B + C) = (A + B) +C A+0=A A+(-A) = 0 C = A - B = A + (-B) comutativa associativa

Subtração C=A-B Multiplicação por um número k C=kB

[ ][ ][ ]
4 7 7 1 −3 6 − 3 2 = −1 1 2 3 0 5 7 0 −7 5 c ij =k b ij Vi e V j

3 =6 9 3 2 1 −4 3 −12 Propriedades Obs: a e b podem ser números complexos a (b A) = (a b) A a (A + B) = a A + a B (a +b) A =a A + a A 1.A = A

[

][

]

2 1 8 2 3 4 1 = 10 5 −2 2

[] [ ][ ]

Multiplicação C = A.B

A = a ij  m× p

B = b jk  p×n Obs: matrizes quadradas devem ter a mesma ordem para poderem ser multiplicadas C = cik  m×n onde cik = a i1 b1k  ai2 b2k  a i2 b 3k   a ip b pk c ik =

∑ a ij b jk
j=1

p

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Propriedades

A.B ≠ B.A

Matriz Transposta

Matriz simétrica Matriz anti-simétrica

2.4. Determinantes

Propriedades

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2.5. Matrizes inversíveis Matriz Inversa (A )
-1

A =

−1

1 A D

pois, Matriz de Cofatores (A')Matriz Adjunta (Ᾱ) A A=A A=D I n D A−1 = A −1 D AA = AA DIn = AA D A−1 = A −1 D A A= AA DIn= AA

2.6. Matrizes no SciLab

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2.7. Resolução de Sistemas Lineares 2.7.1. Representação 2.7.2. Solução 2.7.3. Classificação Solução única Sem solução (eq. inconsistente) Infinitas soluções (eq.redundante) Solução trivial

a 11 x1a 12 x 2 =b1 a 21 x 1a 22 x 2=b 2 x2 x2

x1 x2 x2

x1

2.7.4. Operações com Sistemas Lineares x1

x1

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2.7.5. Aplicações Modelo de um sistema mecânico Diagrama de corpo livre 2a Lei de Newton no equilíbrio

∑ Fext =0

Massa 1:...
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