Mecanica quantica

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Cap´ ıtulo 5 ´ Mecˆnica Quˆntica e a Algebra a a Linear
´ a Neste cap´ ıtulo faremos uma recorda¸˜o de alguns fatos b´sicos de Algebra ca Linear, sem preocuparmos com o rigor matem´tico. Tamb´m formulaa e remos os postulados da Mecˆnica Quˆntica de uma forma mais geral a a ´ utilizando como base a Algebra Linear.

5.1

Espa¸os vetoriais c

u Consideremos um conjunto V e um corpo K, quepode ser (n´ meros reais) ou (n´ meros complexos). V ´ um espa¸o vetorial sobre K se u e c existirem duas opera¸˜es co

+ : V × V −→ V x y −→ x + y e : K × V −→ V α x −→ αx as quais satisfazem as seguintes propriedades, onde x e y pertencem a V e α e β a K, 1. x + y = y + x ; 79

 

¡

80

Cap´ ıtulo 5.

´ Mecˆnica Quˆntica e a Algebra Linear a a

2. x + (y + z) = (x + y) + z ; 3.Existe um vetor nulo (0) tal que x + 0 = x ; 4. Para qualquer x em V , existe (−x) tal que x + (−x) = 0 ; 5. α(βx) = (αβ)x ; 6. 1x = x ; 7. (α + β)x = αx + βx ; 8. α(x + y) = αx + αy .

Exemplos1 :
1. Seja V o conjunto das n-uplas (x1 , ..., xn ) de n´ meros complexos. u Definindo-se a soma de duas n-uplas e a sua multiplica¸˜o por ca um complexo atrav´s de e (x1 , ..., xn ) + (y1 , ..., yn ) ≡ (x +y1 , ..., x + yn ) , α(x1 , ..., xn ) ≡ (αx1 , ..., αxn ) , (5.1) (5.2)

´ f´cil verificar que V ´ um espa¸o vetorial sobre os complexos. e a e c Este espa¸o vetorial ´ chamado de n . c e 2. Consideremos o conjunto V de todas as fun¸˜es cont´ co ınuas de n quadrado integr´vel, i.e. as que satisfazem d x|Ψ(x)|2 < ∞. a Definindo as opera¸˜es de soma e multiplica¸˜o por um n´mero co ca u complexoatrav´s de e (Ψ1 + Ψ2 )(x) ≡ Ψ1 (x) + Ψ2 (x) e (αΨ)(x) ≡ αΨ(x) (5.3)

podemos verificar que V ´ um espa¸o vetorial sobre . Lembre-se e c que o palco da a¸˜o em Mecˆnica Quˆntica ´ um espa¸o vetorial ca a a e c j´ que o princ´ a ıpio da superposi¸˜o implica que os estados de um ca sistema formam um espa¸o vetorial. c
1

Mostre que estes exemplos s˜o de espa¸os vetoriais. a c

¡

¡

5.2.Operadores lineares

81

5.2

Operadores lineares

Consideremos dois espa¸os vetoriais V e W sobre o corpo K. Uma c fun¸˜o ca T : V −→ W x −→ T (x)

´ dita linear se e 1. T (x + y) = T (x) + T (y) , 2. T (αx) = αT (x) . Quando V coincide com W chamamos esta fun¸˜o linear de operador ca linear .

Exemplos:
1. Mostre que se V = W = n , ent˜o, o operador definido atrav´s a e de T ((x1 ,..., xn )) = (y1 , ..., yn ) (5.4) com yi =
j=1

´ linear se os Tij forem n´ meros complexos. e u 2. Para o caso de V e W serem o espa¸o das fun¸˜es de quadrado c co d ca a integr´vel, temos que os operadores dx e multiplica¸˜o por x s˜o a lineares.

5.2.1

Representa¸˜o Matricial ca

Uma propriedade util dos operadores lineares ´ que podemos repre´ e sent´-los atrav´s de uma matriz dedimens˜o igual ` dimens˜o do espa¸o a e a a a c vetorial. Consideremos o operador linear O que atua no espa¸o vetorial c

¡

n

Tij xj

(5.5)

82

Cap´ ıtulo 5.

´ Mecˆnica Quˆntica e a Algebra Linear a a

V e seja {ei } uma base deste espa¸o. Tendo em vista que Oei ´ um c e vetor de V podemos escrevˆ-lo na base {ej } como e Oei =
j

Ojiej ,

(5.6)

onde os coeficientes daexpans˜o definem uma matriz Oji. A a¸˜o de a ca O sobre qualquer vetor x = i xi ei de V ´ ent˜o dada por e a Ox = O
i

xi ei =
i

xi Oei =

xi
j

Ojiej =
j i

Ojixi

ej , (5.7)

ou seja, a componente j do vetor Ox ´ dada por e Ojixi .
i

(5.8)

Note que dada uma base de V podemos representar os vetores de V por matrizes colunas (x1 , x2 , . . . ) enquanto que os operadores linearess˜o dados por matrizes Oji. Mais ainda, a opera¸˜o dos operadores O a ca sobre os vetores x ´ dada por (5.8) que ´ exatamente a multiplica¸˜o e e ca matricial de Oji por xi . No caso em que a dimens˜o de V ´ finita temos a e ´ que este espa¸o vetorial ´ equivalente a n . E importante notar que as c e componentes xi dos vetores, bem como as matrizes Oji dependem da base escolhida para V .

5.3...
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