Matrizes

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MATRIZES
Sejam m e n dois números naturais não nulos. Chama-se matriz do tipo m x n (lê-se m por n) qualquer tabela de m . n números dispostos em m linhas e n colunas.
As linhas de uma matriz são enumeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita, assim uma matriz A genérica, do tipo m x n, pode ser representada da seguinte forma:
A=a11a12a13a21a22a23a31a32a33…⋯…a1na2na3n⋮ ⋮ ⋮ ⋮am1am2am3⋯amn
Amxn=(aij)
A=(aij)mxn
De forma resumida, a mesma matriz A pode ser representada assim:
ou

Nesses casos, fica sempre subtendido, que i assume todos os valores 1,2,3,…,m, enquanto j assume os valores 1,2,3,…,n.
MATRIZES PARTICULARES
Matriz linha:
1231X3
Matriz coluna:
5793X1
Matriz nula:
0000003X2
Matriz quadrada:
1234567893X3DS DP
Diagonal principal (DP) o conjunto de todos os elementos tais que aij tais que i=j.
Diagonal secundária (DS) é o conjunto de todos os seus elementos aij tais que i+j=n+1.
Matriz diagonal:
0000000003X3 5000600073X3
DP DP
Matriz identidade:
I3=1000100013X3 I2=10012X2
DP=1 DP=1
Matriz oposta:B=12-23-343X3 -B=-1-22-33-43X3
Igualdade de matrizes:
Sejam A e B duas matrizes quaisquer do mesmo tipo m x n. Dizemos que A e B são matrizes iguais se, e somente se, cada elemento de A é igual ao elemento correspondente de B.
Exemplo:
abcd2X2=2-35122X2
a=2, b=-3, c=5 e d=12
Matriz transposta:
Chama-se transposta de uma matriz A, indica-se por At, a matriz que se obtém transformandoordenadamente cada linha de A em coluna.

17-32482X3 ⟺ At=1274-383X2

linhas viram colunas
Matriz simétrica:
At=A
A=-110131/201/243X3 =At-11o131/201/243X3
Matriz anti-simétrica:
At=-A
A=034-30-6-4603X3 At=0-3-43064-603X3
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Adição de matrizes
Exemplo:
A=34-101/273X2 + B=59613/2-43X2 =C=81351233X2

A+B=C
Propriedades:
* Comutativa: A+B=B+A
* Associativa: A+B+C=A+B+C
* Elemento neutro: ∀A, ∃0|A+0=A
* Existência da matriz oposta: A+-A=0
Subtração de matrizes
Exemplos:
A-B=C ou A+-B=C
A=170-2343X2- B=3-1560-33X2 ⟹A=170-2343X2+-B=-31-5-6033X2=C=-2-1-5-8373X2

Multiplicação
Multiplicação de matriz por um número real
Exemplo:
Dada a matriz A, obter3.A:
A=2-105372X3⟹3.A=6-30159212X3
Propriedades:
* 1 .A=A
* α.0mxn=0mxn
* 0 .A=0mxn
* α A+B=α.A+α.B
* α+β.A=α.A+β.A
* α.β.A=α.βA

Multiplicação de matrizes
O produto da matriz A pela matriz B é uma matriz C, com um único elemento, que se obtém da seguinte forma:
* Multiplicando-se o primeiro elemento de A pelo primeiro elemento de B; o segundo elemento de A pelosegundo elemento de B; sucessivamente.
* A soma de todos os produtos obtidos é o elemento único da matriz produto.
Exemplo 1:
Seja A uma matriz linha e B uma matriz coluna, ambas com o mesmo número de elementos.

* A=23-11X3 e B=4703X1⟹ A.B=C=291X1
2.4+3.7+-1.0=29
Exemplo 2:
Obter o produto de A.B, para:
A=213 -1240 -32X4 e B=1230-15-2341 5 24X3

Oproduto resultará=C2X3
213 -1240 -32X4. 1230-15-234 1 5 24X3=c11c12c13 c21c22c232X3

c11=2.1+1.0+3.-2+0.1=-4
c12=2.2+1.-1+3.3+0.5=12
c13=2.3+1.5+3.4+0.2=23
c21=-1.1+2.0+4.-2+-3.1=-12
c22=-1.2+2.-1+4.3+-3.5=-7
c23=-1.3+2.5+4.4+-3.2=17
C=-41223-12-7172X3
Observe: Para que possa haver a multiplicação de duas matrizes, o mesmo número de colunas de A tem que ser o mesmo número de linhasde B e o resultado, que neste caso é a matriz C2X3, ou Seja, número de linhas de C é igual ao número de linhas de A e o número de colunas de C é igual ao número de colunas de B.

Propriedades:
* Associativa: A.B.C=A.B.C
* Distributiva à esquerda: A.B+C=A.B+A.C
* Distributiva à direita: B+c.A=B.A+C.A

MATRIZ INVERSA
Quando um número real é inverso do outro, indicamos o...
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