Matrizes

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´ Algebra Linear - Matrizes
Pedro Pablo Durand Lazo

Defini¸˜o e Primeiras propriedades ca
Para p ∈ IN, denotamos mediante Jp o conjunto {k ∈ IN : 1 ≤ k ≤ p} Defini¸˜o 1 Sejam m, n ∈ IN e IK um conjunto. Chama-se matriz de ordem m × n em IK toda ca fun¸˜o ca a : Jm × Jn → IK; (i, j) → a(i, j) = aij A matriz a representa-se por (aij )m×n . O conjunto das matrizes em IK de ordem m×n representasepor MIK (m, n). Se m = n, diz-se que a matriz ´ quadrada de ordem n. MIK (n) representa o e conjunto das matrizes em IK de ordem n. Costuma-se representar a matriz como uma disposi¸˜o A de seus termos em m linhas e n ca colunas: a = (aij )m×n = (aij ; (i, j) ∈ Jm × Jn ) = A  a11 a21 . . . a12 a22 . . . ··· ··· .. . a1j a2j . . . aij . . . amj ··· ··· ··· ··· .. . ··· a1n a2n . . . ain . . . amn         

ai,j ´ o termo que ocupa a i − esima linha e j − esima coluna. e ´ ´ Defini¸˜o 2 Sejam a, b ∈ MIK (m, n). ca a = b ⇔ para todo (i, j) ∈ Jm × Jn : aij = bij S˜o de interese os casos em que o cunjunto IK est´ munido de opera¸˜es tais como soma e a a co multiplica¸˜o. Nestes casos pode-se definit para A, B ∈ MIK (m, n) e λ ∈ IK: ca A + B = (aij + bij )m×n λA = (λaij )m×n

A R    A =   ai1 ai2 · · ·   . . .  . . . ··· am1 am2 · · ·

U C S

O H N

No caso que IK = IR (ou um corpo qualquer), temos: Para todo A, B, C ∈ MIK (m, n) e todo α, β ∈ IK: (V 1) (V 3) (V 5) (V 7) A+B =B+A A+0=A α(β)A = (αβ)A (α + β)A = αA + βA (V 2) (A + B) + C = A + (B + C) (V 4) A + (−A) = 0 (V 6) α(A + B) = αA + βB (V 8) 1A = A 1

onde 0 = (aij )m×n com aij = 0 para todo (i,j) ∈ Jm × Jn . e −A = (−aij )m×n se A = (aij )m×n . No que segue, as matrizes que usaremos ser˜o definidas no corpo IR dos m´meros reais. a u Exemplo 3 Seja a matriz: a : Jm × Jn → IK; (i, j) → a(i, j) = aij = i + j Representamos a matriz a por: A= . a ∈ MIK (2, 3), Exemplo 4 Seja a matriz: a = (i + j)2×3 ≡ A 2 3 4 3 4 5

b : Jm × Jn → IK; (i, j) → b(i, j) = bij = 2i−j Representamos a matriz bpor:   1 1 2 B= 2 1  4 2

.

Defini¸˜o 5 Seja a matriz A = (aij )m×n ∈ MIK (m, n). Chama-se matriz transposta de A ` ca a T = (a ) matriz A e ji n×m ∈ MIK (n, m), isto ´,

Observe que para obter a matriz AT , trocamos as linhas pelas colunas na matriz A. Exemplo 6  2 3 = 3 4  4 5 

A R

U C S
b ∈ MIK (3, 2), 2 3 4 3 4 5
T

b = (2i−j )3×2 ≡ B

O H N

A = (aij )m×n ⇔ AT = (aji)n×m

´ E facil verificar: (i) (AT )T = A (ii) (A + B)T = AT + B T (iii) (λA)T = λAT

Defini¸˜o 7 Seja a matriz A = (aij )n×n . Diz-se que A ´ uma matriz sim´trica se A = AT , ca e e isto ´, e aij = aji para todo (i, j) ∈ Jn × Jn Diz-se que A ´ uma matriz anti-sim´trica se A = −AT , isto ´, e e e aij = −aji para todo (i, j) ∈ Jn × Jn

2

´ E facil verificar que toda matriz quadrada pode-seexprimir como soma de uma matriz sim´trica e e uma matriz anti-sim´trica: e A + AT A − AT A= + 2 2 Exemplo 8    1 2 4 1 1 2 −3 π  1 1 2 0 , ent˜o AT =  2 Se A =  2 1 −1 a  −3 −1 0 4 2 0 −1 π 0 −1 Exemplo 9   −3 π 0  1  −1 2 −1 0  , ´ sim´trica. (ii) A matriz B =  2 e e (i) A matriz A =  2  −3 −1  3 0 1  π 0 1 −1 −π ´ anti-sim´trica. e e  1 Exemplo 10   1 2 −3 π  3 4 1 0  ,temos: Para a matriz A =   5 2 0 1  π 4 1 −1 A + AT A − AT + 2 2
1 2

   

A=

Seja a matriz A ∈ MIK (m, n). dnotemos por Fk a linha k de A e por Cp a coluna p de A. Assim, a1p a2p para 1 ≤ k ≤ m : Fk = ak1 ak2 . . . akn e para 1 ≤ p ≤ n : Cp = . . Desta forma: . . amp  a11 a21 . . . a12 a22 . . . ··· ··· .. . a1j a2j . . . aij . . . amj ··· ··· ··· ··· .. . ··· a1n a2n . . . ain .. . amn      =      F1 F2 . . . 

A R

U C S
 1  5 =  2  1 π
5 2 3 2

O H N
1

 −3 π 0 −1 0   1 0 1  0 −1 0

1 2

4

2

   0 − 1 −4 π 0 2 3 1 2   2 0 − 1 −2  2 2 +  1 0 1   4 0 0  2 1 −1 0 2 0 0

    A =   ai1 ai2 · · ·   . . .  . . . ··· am1 am2 · · ·

C1 C2 · · ·

Cj

···

Cn

          =   Fi   .   .  ....
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