Matrizes

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Igualdade de matrizes
O estudo de matrizes e determinantes está relacionado à resolução de sistemas lineares e ao cálculo da área de um triângulo no plano cartesiano. Dadas duas matrizes A e M, podemos afirmar que elas são iguais se:

1. Elas apresentarem a mesma ordem.
2. Todos os elementos de A forem iguais aos correspondentes de M.

Por exemplo, dada uma matriz A2 x 2, ela será igualà matriz B se B tiver ordem 2 x 2 e se a11 = b11, a12= b12, a21 = b21 e a22 = b22.

Abaixo segue o exemplo de duas matrizes iguais.

Observe que elas apresentam a mesma ordem, 2 x 2, e os elementos correspondentes são iguais.

Vejamos alguns exemplos de exercícios envolvendo igualdade entre matrizes.

Exemplo 1. Determine o valor de x e y para que se tenha A = B, sendo:

Solução: Observeque as duas matrizes já possuem a mesma ordem, 2 x 2. Logo, temos que:

Para que a matriz A seja igual à matriz B, deveremos ter as seguintes igualdades:

Portanto, x = – 8 e y = 10.

Exemplo 2. Quais os possíveis valores de x, y, z e w para que ocorra A = B, sendo:

Solução: As matrizes A e B apresentam a mesma ordem, 3 x 3. Assim, teremos:

Daí, obtemos as seguintes igualdades:


 Adição de matrizes
Partindo de duas matrizes A e B de mesmo tipo, ou seja, A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, podemos encontrar a matriz soma(A + B), bastando, para isso, somarmos os elementos correspondentes de A e B.

Exemplo 1
Dadas as matrizes , determinar a matriz soma (A + B).
Como A = (aij)2x2 e B (bij)2x2, isto é, A e B têm o mesmo tipo, podemos somar os termoscorrespondentes para encontrarmos a matriz soma(A + B)2x2.

 
Propriedades da adição
Sendo A, B, C e O (matriz nula) matrizes de mesmo tipo e p, q Î, valem as propriedades:
Comutativa: A + B = B + A
Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento Neutro: A + O = O + A = A







Matriz oposta
Dada uma matriz (A), sua oposta (–A) é aquela que adicionada a A resulta uma matriz nula (aquela naqual os elementos são iguais à zero).
Em geral, temos...

 
Perceba que, nas matrizes A e - A, os elementos correspondentes são opostos.
Exemplo 2
Vamos tomar como exemplo a matriz , a oposta de A será  .
Acompanhe:











Subtração de Matrizes
Partindo de duas matrizes (A e B) de mesmo tipo, ou seja, A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, podemos encontrar a matriz diferença (A – B)subtraindo os seus elementos correspondentes entre si.

Exemplo 3
Determine a matriz diferença entre .
Vamos procurar a matriz diferença (A – B)3x2 ...

Multiplicação de um número real por uma matriz
Com as matrizes podemos desenvolver várias operações, como: adição e subtração entre matrizes, Potência de matrizes, multiplicação entre matrizes e multiplicação de matriz com número real. 

Amultiplicação de uma matriz por um número real funciona da seguinte forma: considerando uma matriz qualquer C de ordem mxn e um número real qualquer p. 
Quando multiplicamos o número real p pela matriz C encontraremos como produto outra matriz p.C de ordem mxn e seus elementos é o produto de p por cada elemento de C. 
Veja o exemplo: Dada a matriz C = e o número real p = 3. O produto p . Cserá: 

p . C =  

p . C = 

p . C = 

Veja o exemplo que trabalha tanto com a multiplicação de número real por matriz como adição e subtração de matrizes. 
Exemplo: Dada as matrizes A = , B = , C = calcule: 

3A + 2B – 5C 



Portanto, 3A + 2B – 5C = .










Matriz Transposta
Matriz é uma tabela de números disposta em linhas e colunas como a mostrada a seguir, que possui3 linhas e 2 colunas.

Dentre as operações que podemos realizar com matrizes, uma delas é chamada de Matriz Transposta, indicada pela letra t sobrescrita à letra que representa a matriz.
Exemplos:
A transposta da matriz A é representada por At.
A transposta da matriz M é representada por Mt.
Não podemos confundir a notação de matriz transposta com a notação de matriz inversa, enquanto a...
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